Elementarmathematik Beispiele

$\sum_{k = 1}^{8} 200 {(1.01)}^{- k}$

Schritt 1

Die Summe einer endlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze $a_{k}$ und $a_{k + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{200 \cdot {1.01}^{- (k + 1)}}{200 \cdot {1.01}^{- k}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $200$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{200 \cdot {1.01}^{- (k + 1)}}{200 \cdot {1.01}^{- k}}$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{{1.01}^{- (k + 1)}}{{1.01}^{- k}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${1.01}^{- (k + 1)}$ und ${1.01}^{- k}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere ${1.01}^{- k}$ aus ${1.01}^{- (k + 1)}$ heraus.

$r = \frac{{1.01}^{- k} \cdot {1.01}^{- (k + 1) + k}}{{1.01}^{- k}}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{{1.01}^{- k} \cdot {1.01}^{- (k + 1) + k}}{{1.01}^{- k} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{{1.01}^{- k} \cdot {1.01}^{- (k + 1) + k}}{{1.01}^{- k} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{{1.01}^{- (k + 1) + k}}{1}$

Schritt 2.2.2.2.4

Dividiere ${1.01}^{- (k + 1) + k}$ durch $1$ .

$r = {1.01}^{- (k + 1) + k}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r = {1.01}^{- k - 1 \cdot 1 + k}$

Schritt 2.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$r = {1.01}^{- k - 1 + k}$

Schritt 2.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- k - 1 + k$ .

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Schritt 2.2.4.1

Addiere $- k$ und $k$ .

$r = {1.01}^{0 - 1}$

Schritt 2.2.4.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$r = {1.01}^{- 1}$

Schritt 2.2.5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = \frac{1}{1.01}$

Schritt 2.2.6

Dividiere $1$ durch $1.01$ .

$r = 0.\overline{9900}$

Schritt 3

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 3.1

Setze $1$ für $k$ in $200 {(1.01)}^{- k}$ ein.

$a = 200 \cdot {1.01}^{- 1}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$a = 200 \cdot \frac{1}{1.01}$

Schritt 3.2.2

Dividiere $1$ durch $1.01$ .

$a = 200 \cdot 0.\overline{9900}$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $200$ mit $0.\overline{9900}$ .

$a = 198.\overline{0198}$

Schritt 4

Ersetze die Werte des Verhältnisses, des ersten Terms und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$198.\overline{0198} \frac{1 - {0.\overline{9900}}^{8}}{1 - 1 \cdot 0.\overline{9900}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $0.\overline{9900}$ mit $8$ .

$198.\overline{0198} \frac{1 - 1 \cdot 0.92348322}{1 - 1 \cdot 0.\overline{9900}}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.92348322$ .

$198.\overline{0198} \frac{1 - 0.92348322}{1 - 1 \cdot 0.\overline{9900}}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $0.92348322$ von $1$ .

$198.\overline{0198} \frac{0.07651677}{1 - 1 \cdot 0.\overline{9900}}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.\overline{9900}$ .

$198.\overline{0198} \frac{0.07651677}{1 - 0.\overline{9900}}$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $0.\overline{9900}$ von $1$ .

$198.\overline{0198} (\frac{0.07651677}{0.\overline{0099}})$

Schritt 5.3

Dividiere $0.07651677$ durch $0.\overline{0099}$ .

$198.\overline{0198} \cdot 7.72819452$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $198.\overline{0198}$ mit $7.72819452$ .

$1530.33555035$