Elementarmathematik Beispiele

$\sum_{k = 15}^{46} \frac{3 - 5 k}{4}$

Schritt 1

Zerlege die Addition, damit der Anfangswert von $k$ gleich $1$ ist.

$\sum_{k = 15}^{46} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4} = \sum_{k = 1}^{46} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4} - \sum_{k = 1}^{14} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4}$

Schritt 2

Berechne $\sum_{k = 1}^{46} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4}$ .

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Schritt 2.1

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{k = 1}^{46} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4} = \sum_{k = 1}^{46} \frac{3}{4} + \sum_{k = 1}^{46} - \frac{5 k}{4}$

Schritt 2.2

Berechne $\sum_{k = 1}^{46} \frac{3}{4}$ .

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Schritt 2.2.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 2.2.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(\frac{3}{4}) (46)$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{3}{2 (2)} \cdot 46$

Schritt 2.2.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $46$ heraus.

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 23)$

Schritt 2.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 23)$

Schritt 2.2.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{2} \cdot 23$

Schritt 2.2.3.2

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $23$ .

$\frac{3 \cdot 23}{2}$

Schritt 2.2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $23$ .

$\frac{69}{2}$

Schritt 2.3

Berechne $\sum_{k = 1}^{46} - \frac{5 k}{4}$ .

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $- \frac{5}{4}$ aus der Summe raus.

$(- \frac{5}{4}) \sum_{k = 1}^{46} k$

Schritt 2.3.2

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 2.3.3

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(- \frac{5}{4}) (\frac{46 (46 + 1)}{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.4.1.1

Addiere $46$ und $1$ .

$- \frac{5}{4} \cdot \frac{46 \cdot 47}{2}$

Schritt 2.3.4.1.2

Mutltipliziere $46$ mit $47$ .

$- \frac{5}{4} \cdot \frac{2162}{2}$

Schritt 2.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.4.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{4}$ in den Zähler.

$\frac{- 5}{4} \cdot \frac{2162}{2}$

Schritt 2.3.4.2.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{- 5}{2 (2)} \cdot \frac{2162}{2}$

Schritt 2.3.4.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2162$ heraus.

$\frac{- 5}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 1081}{2}$

Schritt 2.3.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 1081}{2}$

Schritt 2.3.4.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 5}{2} \cdot \frac{1081}{2}$

Schritt 2.3.4.3

Mutltipliziere $\frac{- 5}{2}$ mit $\frac{1081}{2}$ .

$\frac{- 5 \cdot 1081}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.4.4.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $1081$ .

$\frac{- 5405}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- 5405}{4}$

Schritt 2.3.4.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5405}{4}$

Schritt 2.4

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$\frac{69}{2} - \frac{5405}{4}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Um $\frac{69}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{69}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{5405}{4}$

Schritt 2.5.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.5.2.1

Mutltipliziere $\frac{69}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{69 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{5405}{4}$

Schritt 2.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{69 \cdot 2}{4} - \frac{5405}{4}$

Schritt 2.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{69 \cdot 2 - 5405}{4}$

Schritt 2.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.4.1

Mutltipliziere $69$ mit $2$ .

$\frac{138 - 5405}{4}$

Schritt 2.5.4.2

Subtrahiere $5405$ von $138$ .

$\frac{- 5267}{4}$

Schritt 2.5.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5267}{4}$

Schritt 3

Berechne $\sum_{k = 1}^{14} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4}$ .

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Schritt 3.1

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{k = 1}^{14} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4} = \sum_{k = 1}^{14} \frac{3}{4} + \sum_{k = 1}^{14} - \frac{5 k}{4}$

Schritt 3.2

Berechne $\sum_{k = 1}^{14} \frac{3}{4}$ .

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Schritt 3.2.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 3.2.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(\frac{3}{4}) (14)$

Schritt 3.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{3}{2 (2)} \cdot 14$

Schritt 3.2.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 7)$

Schritt 3.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 7)$

Schritt 3.2.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{2} \cdot 7$

Schritt 3.2.3.2

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $7$ .

$\frac{3 \cdot 7}{2}$

Schritt 3.2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$\frac{21}{2}$

Schritt 3.3

Berechne $\sum_{k = 1}^{14} - \frac{5 k}{4}$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $- \frac{5}{4}$ aus der Summe raus.

$(- \frac{5}{4}) \sum_{k = 1}^{14} k$

Schritt 3.3.2

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 3.3.3

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(- \frac{5}{4}) (\frac{14 (14 + 1)}{2})$

Schritt 3.3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.3.4.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.4.1.1

Addiere $14$ und $1$ .

$- \frac{5}{4} \cdot \frac{14 \cdot 15}{2}$

Schritt 3.3.4.1.2

Mutltipliziere $14$ mit $15$ .

$- \frac{5}{4} \cdot \frac{210}{2}$

Schritt 3.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.4.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{4}$ in den Zähler.

$\frac{- 5}{4} \cdot \frac{210}{2}$

Schritt 3.3.4.2.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{- 5}{2 (2)} \cdot \frac{210}{2}$

Schritt 3.3.4.2.3

Faktorisiere $2$ aus $210$ heraus.

$\frac{- 5}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 105}{2}$

Schritt 3.3.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 105}{2}$

Schritt 3.3.4.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 5}{2} \cdot \frac{105}{2}$

Schritt 3.3.4.3

Mutltipliziere $\frac{- 5}{2}$ mit $\frac{105}{2}$ .

$\frac{- 5 \cdot 105}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.4.4.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $105$ .

$\frac{- 525}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- 525}{4}$

Schritt 3.3.4.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{525}{4}$

Schritt 3.4

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$\frac{21}{2} - \frac{525}{4}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Um $\frac{21}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{21}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{525}{4}$

Schritt 3.5.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1

Mutltipliziere $\frac{21}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{21 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{525}{4}$

Schritt 3.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{21 \cdot 2}{4} - \frac{525}{4}$

Schritt 3.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{21 \cdot 2 - 525}{4}$

Schritt 3.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.4.1

Mutltipliziere $21$ mit $2$ .

$\frac{42 - 525}{4}$

Schritt 3.5.4.2

Subtrahiere $525$ von $42$ .

$\frac{- 483}{4}$

Schritt 3.5.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{483}{4}$

Schritt 4

Ersetze die Aufsummierungen durch die gefundenen Werte.

$- \frac{5267}{4} + \frac{483}{4}$

Schritt 5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 5267 + 483}{4}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.1

Addiere $- 5267$ und $483$ .

$\frac{- 4784}{4}$

Schritt 5.2.2

Dividiere $- 4784$ durch $4$ .

$- 1196$