Elementarmathematik Beispiele

$\sum_{n = 1}^{31} 300 + {(n - 1)}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Schreibe ${(n - 1)}^{2}$ als $(n - 1) (n - 1)$ um.

$300 + (n - 1) (n - 1)$

Schritt 1.1.2

Multipliziere $(n - 1) (n - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$300 + n (n - 1) - 1 (n - 1)$

Schritt 1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$300 + n \cdot n + n \cdot - 1 - 1 (n - 1)$

Schritt 1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$300 + n \cdot n + n \cdot - 1 - 1 n - 1 \cdot - 1$

Schritt 1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.1.1

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$300 + n^{2} + n \cdot - 1 - 1 n - 1 \cdot - 1$

Schritt 1.1.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $n$ .

$300 + n^{2} - 1 \cdot n - 1 n - 1 \cdot - 1$

Schritt 1.1.3.1.3

Schreibe $- 1 n$ als $- n$ um.

$300 + n^{2} - n - 1 n - 1 \cdot - 1$

Schritt 1.1.3.1.4

Schreibe $- 1 n$ als $- n$ um.

$300 + n^{2} - n - n - 1 \cdot - 1$

Schritt 1.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$300 + n^{2} - n - n + 1$

Schritt 1.1.3.2

Subtrahiere $n$ von $- n$ .

$300 + n^{2} - 2 n + 1$

Schritt 1.2

Addiere $300$ und $1$ .

$n^{2} - 2 n + 301$

Schritt 1.3

Schreibe die Summe um.

$\sum_{n = 1}^{31} n^{2} - 2 n + 301$

Schritt 2

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{n = 1}^{31} n^{2} - 2 n + 301 = \sum_{n = 1}^{31} n^{2} - 2 \sum_{n = 1}^{31} n + \sum_{n = 1}^{31} 301$

Schritt 3

Berechne $\sum_{n = 1}^{31} n^{2}$ .

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Schritt 3.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 3.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$\frac{31 (31 + 1) (2 \cdot 31 + 1)}{6}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1.1

Addiere $31$ und $1$ .

$\frac{31 \cdot 32 (2 \cdot 31 + 1)}{6}$

Schritt 3.3.1.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.3.1.2.1

Mutltipliziere $31$ mit $32$ .

$\frac{992 (2 \cdot 31 + 1)}{6}$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $31$ .

$\frac{992 (62 + 1)}{6}$

Schritt 3.3.1.3

Addiere $62$ und $1$ .

$\frac{992 \cdot 63}{6}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $992$ mit $63$ .

$\frac{62496}{6}$

Schritt 3.3.2.2

Dividiere $62496$ durch $6$ .

$10416$

Schritt 4

Berechne $2 \sum_{n = 1}^{31} n$ .

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Schritt 4.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 4.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(- 2) (\frac{31 (31 + 1)}{2})$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1.1

Addiere $31$ und $1$ .

$- 2 \frac{31 \cdot 32}{2}$

Schritt 4.3.1.2

Mutltipliziere $31$ mit $32$ .

$- 2 (\frac{992}{2})$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{992}{2}$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{992}{2}$

Schritt 4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 992$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $992$ .

$- 992$

Schritt 5

Berechne $\sum_{n = 1}^{31} 301$ .

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Schritt 5.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 5.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(301) (31)$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $301$ mit $31$ .

$9331$

Schritt 6

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$10416 - 992 + 9331$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Subtrahiere $992$ von $10416$ .

$9424 + 9331$

Schritt 7.2

Addiere $9424$ und $9331$ .

$18755$