Elementarmathematik Beispiele

$\sum_{k = 1}^{11} \frac{1}{4} + {(- 3)}^{k - 1}$

Schritt 1

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{k = 1}^{11} \frac{1}{4} + {(- 3)}^{k - 1} = \sum_{k = 1}^{11} \frac{1}{4} + \sum_{k = 1}^{11} {(- 3)}^{k - 1}$

Schritt 2

Berechne $\sum_{k = 1}^{11} \frac{1}{4}$ .

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Schritt 2.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 2.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(\frac{1}{4}) (11)$

Schritt 2.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $11$ .

$\frac{11}{4}$

Schritt 3

Berechne $\sum_{k = 1}^{11} {(- 3)}^{k - 1}$ .

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Schritt 3.1

Die Summe einer endlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 3.2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 3.2.1

Setze $a_{k}$ und $a_{k + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{{(- 3)}^{k + 1 - 1}}{{(- 3)}^{k - 1}}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(- 3)}^{k + 1 - 1}$ und ${(- 3)}^{k - 1}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Faktorisiere ${(- 3)}^{k - 1}$ aus ${(- 3)}^{k + 1 - 1}$ heraus.

$r = \frac{{(- 3)}^{k - 1} {(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 3)}^{k - 1}}$

Schritt 3.2.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.2.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{{(- 3)}^{k - 1} {(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 3)}^{k - 1} \cdot 1}$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{{(- 3)}^{k - 1} {(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 3)}^{k - 1} \cdot 1}$

Schritt 3.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{{(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Schritt 3.2.2.1.2.4

Dividiere ${(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}$ durch $1$ .

$r = {(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $k$ und $0$ .

$r = {(- 3)}^{k - (k - 1)}$

Schritt 3.2.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r = {(- 3)}^{k - k - - 1}$

Schritt 3.2.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$r = {(- 3)}^{k - k + 1}$

Schritt 3.2.2.4

Subtrahiere $k$ von $k$ .

$r = {(- 3)}^{0 + 1}$

Schritt 3.2.2.5

Addiere $0$ und $1$ .

$r = {(- 3)}^{1}$

Schritt 3.2.2.6

Berechne den Exponenten.

$r = - 3$

Schritt 3.3

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 3.3.1

Setze $1$ für $k$ in ${(- 3)}^{k - 1}$ ein.

$a = {(- 3)}^{1 - 1}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$a = {(- 3)}^{0}$

Schritt 3.3.2.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a = 1$

Schritt 3.4

Ersetze die Werte des Verhältnisses, des ersten Terms und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$1 \frac{1 - {(- 3)}^{11}}{1 - - 3}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $\frac{1 - {(- 3)}^{11}}{1 - - 3}$ mit $1$ .

$\frac{1 - {(- 3)}^{11}}{1 - - 3}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.2.1

Potenziere $- 3$ mit $11$ .

$\frac{1 - - 177147}{1 - - 3}$

Schritt 3.5.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 177147$ .

$\frac{1 + 177147}{1 - - 3}$

Schritt 3.5.2.3

Addiere $1$ und $177147$ .

$\frac{177148}{1 - - 3}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{177148}{1 + 3}$

Schritt 3.5.3.2

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{177148}{4}$

Schritt 3.5.4

Dividiere $177148$ durch $4$ .

$44287$

Schritt 4

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$\frac{11}{4} + 44287$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Um $44287$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{11}{4} + 44287 \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 5.2

Kombiniere $44287$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{11}{4} + \frac{44287 \cdot 4}{4}$

Schritt 5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{11 + 44287 \cdot 4}{4}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $44287$ mit $4$ .

$\frac{11 + 177148}{4}$

Schritt 5.4.2

Addiere $11$ und $177148$ .

$\frac{177159}{4}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{177159}{4}$

Dezimalform:

$44289.75$

Darstellung als gemischte Zahl:

$44289 \frac{3}{4}$