Elementarmathematik Beispiele

$\sum_{k = 0}^{12} - 3 k + 2$

Schritt 1

Zerlege die Addition, damit der Anfangswert von $k$ gleich $1$ ist.

$\sum_{k = 0}^{12} - 3 k + 2 = \sum_{k = 1}^{12} - 3 k + 2 + \sum_{k = 0}^{0} - 3 k + 2$

Schritt 2

Berechne $\sum_{k = 1}^{12} - 3 k + 2$ .

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Schritt 2.1

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{k = 1}^{12} - 3 k + 2 = - 3 \sum_{k = 1}^{12} k + \sum_{k = 1}^{12} 2$

Schritt 2.2

Berechne $3 \sum_{k = 1}^{12} k$ .

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Schritt 2.2.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 2.2.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(- 3) (\frac{12 (12 + 1)}{2})$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Addiere $12$ und $1$ .

$- 3 \frac{12 \cdot 13}{2}$

Schritt 2.2.3.2

Mutltipliziere $12$ mit $13$ .

$- 3 (\frac{156}{2})$

Schritt 2.2.3.3

Dividiere $156$ durch $2$ .

$- 3 \cdot 78$

Schritt 2.2.3.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $78$ .

$- 234$

Schritt 2.3

Berechne $\sum_{k = 1}^{12} 2$ .

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Schritt 2.3.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 2.3.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(2) (12)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$24$

Schritt 2.4

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$- 234 + 24$

Schritt 2.5

Addiere $- 234$ und $24$ .

$- 210$

Schritt 3

Berechne $\sum_{k = 0}^{0} - 3 k + 2$ .

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Schritt 3.1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $k$ .

$- 3 \cdot 0 + 2$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$0 + 2$

Schritt 3.2.2

Addiere $0$ und $2$ .

$2$

Schritt 4

Ersetze die Aufsummierungen durch die gefundenen Werte.

$- 210 + 2$

Schritt 5

Addiere $- 210$ und $2$ .

$- 208$