Elementarmathematik Beispiele

$\sum_{k = 1}^{4} 72 {(\frac{1}{3})}^{k}$

Schritt 1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $k$ .

$72 {(\frac{1}{3})}^{1} + 72 {(\frac{1}{3})}^{2} + 72 {(\frac{1}{3})}^{3} + 72 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache.

$72 (\frac{1}{3}) + 72 {(\frac{1}{3})}^{2} + 72 {(\frac{1}{3})}^{3} + 72 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Schritt 2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $72$ heraus.

$3 (24) \frac{1}{3} + 72 {(\frac{1}{3})}^{2} + 72 {(\frac{1}{3})}^{3} + 72 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Schritt 2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot 24 \frac{1}{3} + 72 {(\frac{1}{3})}^{2} + 72 {(\frac{1}{3})}^{3} + 72 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Schritt 2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$24 + 72 {(\frac{1}{3})}^{2} + 72 {(\frac{1}{3})}^{3} + 72 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Schritt 2.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$24 + 72 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 72 {(\frac{1}{3})}^{3} + 72 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Schritt 2.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$24 + 72 \frac{1}{3^{2}} + 72 {(\frac{1}{3})}^{3} + 72 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Schritt 2.1.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$24 + 72 (\frac{1}{9}) + 72 {(\frac{1}{3})}^{3} + 72 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Schritt 2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 2.1.6.1

Faktorisiere $9$ aus $72$ heraus.

$24 + 9 (8) \frac{1}{9} + 72 {(\frac{1}{3})}^{3} + 72 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Schritt 2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$24 + 9 \cdot 8 \frac{1}{9} + 72 {(\frac{1}{3})}^{3} + 72 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Schritt 2.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$24 + 8 + 72 {(\frac{1}{3})}^{3} + 72 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Schritt 2.1.7

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$24 + 8 + 72 \frac{1^{3}}{3^{3}} + 72 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Schritt 2.1.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$24 + 8 + 72 \frac{1}{3^{3}} + 72 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Schritt 2.1.9

Potenziere $3$ mit $3$ .

$24 + 8 + 72 (\frac{1}{27}) + 72 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Schritt 2.1.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 2.1.10.1

Faktorisiere $9$ aus $72$ heraus.

$24 + 8 + 9 (8) \frac{1}{27} + 72 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Schritt 2.1.10.2

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$24 + 8 + 9 \cdot 8 \frac{1}{9 \cdot 3} + 72 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Schritt 2.1.10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$24 + 8 + 9 \cdot 8 \frac{1}{9 \cdot 3} + 72 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Schritt 2.1.10.4

Forme den Ausdruck um.

$24 + 8 + 8 (\frac{1}{3}) + 72 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Schritt 2.1.11

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{3}$ .

$24 + 8 + \frac{8}{3} + 72 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Schritt 2.1.12

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$24 + 8 + \frac{8}{3} + 72 \frac{1^{4}}{3^{4}}$

Schritt 2.1.13

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$24 + 8 + \frac{8}{3} + 72 \frac{1}{3^{4}}$

Schritt 2.1.14

Potenziere $3$ mit $4$ .

$24 + 8 + \frac{8}{3} + 72 (\frac{1}{81})$

Schritt 2.1.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 2.1.15.1

Faktorisiere $9$ aus $72$ heraus.

$24 + 8 + \frac{8}{3} + 9 (8) \frac{1}{81}$

Schritt 2.1.15.2

Faktorisiere $9$ aus $81$ heraus.

$24 + 8 + \frac{8}{3} + 9 \cdot 8 \frac{1}{9 \cdot 9}$

Schritt 2.1.15.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$24 + 8 + \frac{8}{3} + 9 \cdot 8 \frac{1}{9 \cdot 9}$

Schritt 2.1.15.4

Forme den Ausdruck um.

$24 + 8 + \frac{8}{3} + 8 (\frac{1}{9})$

Schritt 2.1.16

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{9}$ .

$24 + 8 + \frac{8}{3} + \frac{8}{9}$

Schritt 2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $24$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{24}{1} + 8 + \frac{8}{3} + \frac{8}{9}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $\frac{24}{1}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{24}{1} \cdot \frac{9}{9} + 8 + \frac{8}{3} + \frac{8}{9}$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $\frac{24}{1}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{24 \cdot 9}{9} + 8 + \frac{8}{3} + \frac{8}{9}$

Schritt 2.2.4

Schreibe $8$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{24 \cdot 9}{9} + \frac{8}{1} + \frac{8}{3} + \frac{8}{9}$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $\frac{8}{1}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{24 \cdot 9}{9} + \frac{8}{1} \cdot \frac{9}{9} + \frac{8}{3} + \frac{8}{9}$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $\frac{8}{1}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{24 \cdot 9}{9} + \frac{8 \cdot 9}{9} + \frac{8}{3} + \frac{8}{9}$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $\frac{8}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{24 \cdot 9}{9} + \frac{8 \cdot 9}{9} + \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{9}$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere $\frac{8}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{24 \cdot 9}{9} + \frac{8 \cdot 9}{9} + \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{8}{9}$

Schritt 2.2.9

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{24 \cdot 9}{9} + \frac{8 \cdot 9}{9} + \frac{8 \cdot 3}{9} + \frac{8}{9}$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{24 \cdot 9 + 8 \cdot 9 + 8 \cdot 3 + 8}{9}$

Schritt 2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $24$ mit $9$ .

$\frac{216 + 8 \cdot 9 + 8 \cdot 3 + 8}{9}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $8$ mit $9$ .

$\frac{216 + 72 + 8 \cdot 3 + 8}{9}$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$\frac{216 + 72 + 24 + 8}{9}$

Schritt 2.5

Addiere $216$ und $72$ .

$\frac{288 + 24 + 8}{9}$

Schritt 2.6

Addiere $288$ und $24$ .

$\frac{312 + 8}{9}$

Schritt 2.7

Addiere $312$ und $8$ .

$\frac{320}{9}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{320}{9}$

Dezimalform:

$35.\overline{5}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$35 \frac{5}{9}$