Elementarmathematik Beispiele

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{7}{8^{k}}$

Schritt 1

Die Summe einer unendlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $\frac{a}{1 - r}$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ einsetzt und vereinfachst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze $a_{k}$ und $a_{k + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{\frac{7}{8^{k + 1}}}{\frac{7}{8^{k}}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$r = \frac{7}{8^{k + 1}} \cdot \frac{8^{k}}{7}$

Schritt 2.2.2

Kombinieren.

$r = \frac{7 \cdot 8^{k}}{8^{k + 1} \cdot 7}$

Schritt 2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{7 \cdot 8^{k}}{8^{k + 1} \cdot 7}$

Schritt 2.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{8^{k}}{8^{k + 1}}$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8^{k}$ und $8^{k + 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.1

Faktorisiere $8^{k + 1}$ aus $8^{k}$ heraus.

$r = \frac{8^{k + 1} \cdot 8^{k - (k + 1)}}{8^{k + 1}}$

Schritt 2.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{8^{k + 1} \cdot 8^{k - (k + 1)}}{8^{k + 1} \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{8^{k + 1} \cdot 8^{k - (k + 1)}}{8^{k + 1} \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{8^{k - (k + 1)}}{1}$

Schritt 2.2.4.2.4

Dividiere $8^{k - (k + 1)}$ durch $1$ .

$r = 8^{k - (k + 1)}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r = 8^{k - k - 1 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$r = 8^{k - k - 1}$

Schritt 2.2.6

Subtrahiere $k$ von $k$ .

$r = 8^{0 - 1}$

Schritt 2.2.7

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$r = 8^{- 1}$

Schritt 2.2.8

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = \frac{1}{8}$

Schritt 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Schritt 4

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Setze $1$ für $k$ in $\frac{7}{8^{k}}$ ein.

$a = \frac{7}{8^{1}}$

Schritt 4.2

Berechne den Exponenten.

$a = \frac{7}{8}$

Schritt 5

Ersetze die Werte des Verhältnisses und des ersten Terms in der Summenformel.

$\frac{\frac{7}{8}}{1 - \frac{1}{8}}$

Schritt 6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{8}}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{\frac{8}{8} - \frac{1}{8}}$

Schritt 6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{\frac{8 - 1}{8}}$

Schritt 6.2.3

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{\frac{7}{8}}$

Schritt 6.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{7}{8} (1 (\frac{8}{7}))$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $\frac{8}{7}$ mit $1$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{8}{7}$

Schritt 6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{8}{7}$

Schritt 6.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{8} \cdot 8$

Schritt 6.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{8} \cdot 8$

Schritt 6.6.2

Forme den Ausdruck um.

$1$