Elementarmathematik Beispiele

$\sum_{k = 1}^{8} \frac{1}{3} + {(\frac{1}{3})}^{k - 1}$

Schritt 1

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{k = 1}^{8} \frac{1}{3} + {(\frac{1}{3})}^{k - 1} = \sum_{k = 1}^{8} \frac{1}{3} + \sum_{k = 1}^{8} {(\frac{1}{3})}^{k - 1}$

Schritt 2

Berechne $\sum_{k = 1}^{8} \frac{1}{3}$ .

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Schritt 2.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 2.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(\frac{1}{3}) (8)$

Schritt 2.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $8$ .

$\frac{8}{3}$

Schritt 3

Berechne $\sum_{k = 1}^{8} {(\frac{1}{3})}^{k - 1}$ .

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Schritt 3.1

Die Summe einer endlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 3.2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 3.2.1

Setze $a_{k}$ und $a_{k + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{k + 1 - 1}}{{(\frac{1}{3})}^{k - 1}}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(\frac{1}{3})}^{k + 1 - 1}$ und ${(\frac{1}{3})}^{k - 1}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Faktorisiere ${(\frac{1}{3})}^{k - 1}$ aus ${(\frac{1}{3})}^{k + 1 - 1}$ heraus.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{k - 1} {(\frac{1}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{k - 1}}$

Schritt 3.2.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.2.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{k - 1} {(\frac{1}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{k - 1} {(\frac{1}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

Schritt 3.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Schritt 3.2.2.1.2.4

Dividiere ${(\frac{1}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$ durch $1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $k$ und $0$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{k - (k - 1)}$

Schritt 3.2.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r = {(\frac{1}{3})}^{k - k - - 1}$

Schritt 3.2.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{k - k + 1}$

Schritt 3.2.2.4

Subtrahiere $k$ von $k$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{0 + 1}$

Schritt 3.2.2.5

Addiere $0$ und $1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{1}$

Schritt 3.2.2.6

Vereinfache.

$r = \frac{1}{3}$

Schritt 3.3

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 3.3.1

Setze $1$ für $k$ in ${(\frac{1}{3})}^{k - 1}$ ein.

$a = {(\frac{1}{3})}^{1 - 1}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$a = {(\frac{1}{3})}^{0}$

Schritt 3.3.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$a = \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Schritt 3.3.2.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a = \frac{1}{3^{0}}$

Schritt 3.3.2.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Schritt 3.3.2.5

Dividiere $1$ durch $1$ .

$a = 1$

Schritt 3.4

Ersetze die Werte des Verhältnisses, des ersten Terms und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$1 \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $\frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$ mit $1$ .

$\frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$

Schritt 3.5.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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Schritt 3.5.2.1

Mutltipliziere $\frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$

Schritt 3.5.2.2

Kombinieren.

$\frac{3 (1 - {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 (1 - \frac{1}{3})}$

Schritt 3.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{1}{3})}$

Schritt 3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Schritt 3.5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Schritt 3.5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 3.5.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 3.5.5.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$\frac{3 + 3 (- \frac{1^{8}}{3^{8}})}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 3.5.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.5.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1^{8}}{3^{8}}$ in den Zähler.

$\frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3^{8}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 3.5.5.3.2

Faktorisiere $3$ aus $3^{8}$ heraus.

$\frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 3.5.5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 3.5.5.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 + \frac{- 1^{8}}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 3.5.5.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 3.5.5.5

Potenziere $3$ mit $7$ .

$\frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 3.5.5.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{3 + \frac{- 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 3.5.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3 - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 3.5.5.8

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2187}{2187}$ .

$\frac{3 \cdot \frac{2187}{2187} - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 3.5.5.9

Kombiniere $3$ und $\frac{2187}{2187}$ .

$\frac{\frac{3 \cdot 2187}{2187} - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 3.5.5.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{3 \cdot 2187 - 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 3.5.5.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.5.11.1

Mutltipliziere $3$ mit $2187$ .

$\frac{\frac{6561 - 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 3.5.5.11.2

Subtrahiere $1$ von $6561$ .

$\frac{\frac{6560}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Schritt 3.5.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{\frac{6560}{2187}}{3 - 1}$

Schritt 3.5.6.2

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$\frac{\frac{6560}{2187}}{2}$

Schritt 3.5.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{6560}{2187} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.5.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.8.1

Faktorisiere $2$ aus $6560$ heraus.

$\frac{2 (3280)}{2187} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.5.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 3280}{2187} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.5.8.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3280}{2187}$

Schritt 4

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$\frac{8}{3} + \frac{3280}{2187}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Um $\frac{8}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{729}{729}$ .

$\frac{8}{3} \cdot \frac{729}{729} + \frac{3280}{2187}$

Schritt 5.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2187$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $\frac{8}{3}$ mit $\frac{729}{729}$ .

$\frac{8 \cdot 729}{3 \cdot 729} + \frac{3280}{2187}$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $729$ .

$\frac{8 \cdot 729}{2187} + \frac{3280}{2187}$

Schritt 5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8 \cdot 729 + 3280}{2187}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $8$ mit $729$ .

$\frac{5832 + 3280}{2187}$

Schritt 5.4.2

Addiere $5832$ und $3280$ .

$\frac{9112}{2187}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{9112}{2187}$

Dezimalform:

$4.16643804 \dots$

Darstellung als gemischte Zahl:

$4 \frac{364}{2187}$