Elementarmathematik Beispiele

$\sum_{5}^{50} 2 n + 5$

Schritt 1

Zerlege die Addition, damit der Anfangswert von $n$ gleich $1$ ist.

$\sum_{5}^{50} 2 n + 5 = \sum_{n = 1}^{50} 2 n + 5 - \sum_{n = 1}^{4} 2 n + 5$

Schritt 2

Berechne $\sum_{n = 1}^{50} 2 n + 5$ .

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Schritt 2.1

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{n = 1}^{50} 2 n + 5 = 2 \sum_{n = 1}^{50} n + \sum_{n = 1}^{50} 5$

Schritt 2.2

Berechne $2 \sum_{n = 1}^{50} n$ .

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Schritt 2.2.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 2.2.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(2) (\frac{50 (50 + 1)}{2})$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.3.1.1

Addiere $50$ und $1$ .

$2 \frac{50 \cdot 51}{2}$

Schritt 2.2.3.1.2

Mutltipliziere $50$ mit $51$ .

$2 (\frac{2550}{2})$

Schritt 2.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{2550}{2})$

Schritt 2.2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2550$

Schritt 2.3

Berechne $\sum_{n = 1}^{50} 5$ .

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Schritt 2.3.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 2.3.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(5) (50)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $50$ .

$250$

Schritt 2.4

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$2550 + 250$

Schritt 2.5

Addiere $2550$ und $250$ .

$2800$

Schritt 3

Berechne $\sum_{n = 1}^{4} 2 n + 5$ .

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Schritt 3.1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $n$ .

$2 \cdot 1 + 5 + 2 \cdot 2 + 5 + 2 \cdot 3 + 5 + 2 \cdot 4 + 5$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + 5 + 2 \cdot 2 + 5 + 2 \cdot 3 + 5 + 2 \cdot 4 + 5$

Schritt 3.2.2

Addiere $2$ und $5$ .

$7 + 2 \cdot 2 + 5 + 2 \cdot 3 + 5 + 2 \cdot 4 + 5$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$7 + 4 + 5 + 2 \cdot 3 + 5 + 2 \cdot 4 + 5$

Schritt 3.2.4

Addiere $4$ und $5$ .

$7 + 9 + 2 \cdot 3 + 5 + 2 \cdot 4 + 5$

Schritt 3.2.5

Addiere $7$ und $9$ .

$16 + 2 \cdot 3 + 5 + 2 \cdot 4 + 5$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$16 + 6 + 5 + 2 \cdot 4 + 5$

Schritt 3.2.7

Addiere $6$ und $5$ .

$16 + 11 + 2 \cdot 4 + 5$

Schritt 3.2.8

Addiere $16$ und $11$ .

$27 + 2 \cdot 4 + 5$

Schritt 3.2.9

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$27 + 8 + 5$

Schritt 3.2.10

Addiere $8$ und $5$ .

$27 + 13$

Schritt 3.2.11

Addiere $27$ und $13$ .

$40$

Schritt 4

Ersetze die Aufsummierungen durch die gefundenen Werte.

$2800 - 40$

Schritt 5

Subtrahiere $40$ von $2800$ .

$2760$