Elementarmathematik Beispiele

$\frac{lim_{x \to 1} 5 x^{2} - 7 x + 2}{x^{2} - 1}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} 5 x^{2} - lim_{x \to 1} 7 x + lim_{x \to 1} 2}{x^{2} - 1}$

Schritt 2

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 7 x + lim_{x \to 1} 2}{x^{2} - 1}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{5 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 7 x + lim_{x \to 1} 2}{x^{2} - 1}$

Schritt 4

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 2}{x^{2} - 1}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{5 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 1} x + 2}{x^{2} - 1}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{5 \cdot 1^{2} - 7 lim_{x \to 1} x + 2}{x^{2} - 1}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{5 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1 + 2}{x^{2} - 1}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{5 \cdot 1 - 7 \cdot 1 + 2}{x^{2} - 1}$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{5 - 7 \cdot 1 + 2}{x^{2} - 1}$

Schritt 7.1.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$\frac{5 - 7 + 2}{x^{2} - 1}$

Schritt 7.1.4

Subtrahiere $7$ von $5$ .

$\frac{- 2 + 2}{x^{2} - 1}$

Schritt 7.1.5

Addiere $- 2$ und $2$ .

$\frac{0}{x^{2} - 1}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{0}{x^{2} - 1^{2}}$

Schritt 7.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 7.3

Dividiere $0$ durch $(x + 1) (x - 1)$ .

$0$