Elementarmathematik Beispiele

$\sum_{i = 0}^{8} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i}$

Schritt 1

Zerlege die Addition, damit der Anfangswert von $i$ gleich $1$ ist.

$\sum_{k = 0}^{8} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i} = \sum_{k = 1}^{8} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i} + \sum_{k = 0}^{0} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i}$

Schritt 2

Berechne $\sum_{k = 1}^{8} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i}$ .

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Schritt 2.1

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{k = 1}^{8} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i} = \sum_{k = 1}^{8} 256 + \sum_{k = 1}^{8} {(\frac{3}{2})}^{i}$

Schritt 2.2

Berechne $\sum_{k = 1}^{8} 256$ .

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Schritt 2.2.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 2.2.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(256) (8)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $256$ mit $8$ .

$2048$

Schritt 2.3

Berechne $\sum_{k = 1}^{8} {(\frac{3}{2})}^{i}$ .

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Schritt 2.3.1

Die Summe einer endlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2.3.2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.3.2.1

Setze $a_{k}$ und $a_{k + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{{(\frac{3}{2})}^{i + 1}}{{(\frac{3}{2})}^{i}}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(\frac{3}{2})}^{i + 1}$ und ${(\frac{3}{2})}^{i}$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Faktorisiere ${(\frac{3}{2})}^{i}$ aus ${(\frac{3}{2})}^{i + 1}$ heraus.

$r = \frac{{(\frac{3}{2})}^{i} \frac{3}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{i}}$

Schritt 2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{{(\frac{3}{2})}^{i} \frac{3}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{i} \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{{(\frac{3}{2})}^{i} \frac{3}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{i} \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{\frac{3}{2}}{1}$

Schritt 2.3.2.2.2.4

Dividiere $\frac{3}{2}$ durch $1$ .

$r = \frac{3}{2}$

Schritt 2.3.3

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.3.3.1

Setze $1$ für $i$ in ${(\frac{3}{2})}^{i}$ ein.

$a = {(\frac{3}{2})}^{1}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

$a = \frac{3}{2}$

Schritt 2.3.4

Ersetze die Werte des Verhältnisses, des ersten Terms und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1 - {(\frac{3}{2})}^{8}}{1 - \frac{3}{2}}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

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Schritt 2.3.5.1.1

Mutltipliziere $\frac{1 - {(\frac{3}{2})}^{8}}{1 - \frac{3}{2}}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{2} \cdot \frac{1 - {(\frac{3}{2})}^{8}}{1 - \frac{3}{2}})$

Schritt 2.3.5.1.2

Kombinieren.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 (1 - {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 (1 - \frac{3}{2})}$

Schritt 2.3.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{3}{2})}$

Schritt 2.3.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.5.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{2}$ in den Zähler.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 3}{2})}$

Schritt 2.3.5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 3}{2})}$

Schritt 2.3.5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 \cdot 1 - 3}$

Schritt 2.3.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.5.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + 2 (- {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 \cdot 1 - 3}$

Schritt 2.3.5.4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + 2 (- \frac{3^{8}}{2^{8}})}{2 \cdot 1 - 3}$

Schritt 2.3.5.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.5.4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3^{8}}{2^{8}}$ in den Zähler.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + 2 \frac{- 3^{8}}{2^{8}}}{2 \cdot 1 - 3}$

Schritt 2.3.5.4.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2^{8}$ heraus.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + 2 \frac{- 3^{8}}{2 \cdot 2^{7}}}{2 \cdot 1 - 3}$

Schritt 2.3.5.4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + 2 \frac{- 3^{8}}{2 \cdot 2^{7}}}{2 \cdot 1 - 3}$

Schritt 2.3.5.4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + \frac{- 3^{8}}{2^{7}}}{2 \cdot 1 - 3}$

Schritt 2.3.5.4.4

Potenziere $3$ mit $8$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + \frac{- 1 \cdot 6561}{2^{7}}}{2 \cdot 1 - 3}$

Schritt 2.3.5.4.5

Potenziere $2$ mit $7$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + \frac{- 1 \cdot 6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Schritt 2.3.5.4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $6561$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + \frac{- 6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Schritt 2.3.5.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 - \frac{6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Schritt 2.3.5.4.8

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{128}{128}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot \frac{128}{128} - \frac{6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Schritt 2.3.5.4.9

Kombiniere $2$ und $\frac{128}{128}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{2 \cdot 128}{128} - \frac{6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Schritt 2.3.5.4.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{2 \cdot 128 - 6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Schritt 2.3.5.4.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.5.4.11.1

Mutltipliziere $2$ mit $128$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{256 - 6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Schritt 2.3.5.4.11.2

Subtrahiere $6561$ von $256$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{- 6305}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Schritt 2.3.5.4.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- \frac{6305}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Schritt 2.3.5.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.5.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- \frac{6305}{128}}{2 - 3}$

Schritt 2.3.5.5.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- \frac{6305}{128}}{- 1}$

Schritt 2.3.5.6

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{6305}{128}}{1}$

Schritt 2.3.5.7

Dividiere $\frac{6305}{128}$ durch $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{6305}{128}$

Schritt 2.3.5.8

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot \frac{6305}{128}$ .

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Schritt 2.3.5.8.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{6305}{128}$ .

$\frac{3 \cdot 6305}{2 \cdot 128}$

Schritt 2.3.5.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $6305$ .

$\frac{18915}{2 \cdot 128}$

Schritt 2.3.5.8.3

Mutltipliziere $2$ mit $128$ .

$\frac{18915}{256}$

Schritt 2.4

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$2048 + \frac{18915}{256}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Um $2048$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{256}{256}$ .

$2048 \cdot \frac{256}{256} + \frac{18915}{256}$

Schritt 2.5.2

Kombiniere $2048$ und $\frac{256}{256}$ .

$\frac{2048 \cdot 256}{256} + \frac{18915}{256}$

Schritt 2.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2048 \cdot 256 + 18915}{256}$

Schritt 2.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.4.1

Mutltipliziere $2048$ mit $256$ .

$\frac{524288 + 18915}{256}$

Schritt 2.5.4.2

Addiere $524288$ und $18915$ .

$\frac{543203}{256}$

Schritt 3

Berechne $\sum_{k = 0}^{0} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i}$ .

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Schritt 3.1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $i$ .

$256 + {(\frac{3}{2})}^{0}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$256 + \frac{3^{0}}{2^{0}}$

Schritt 3.2.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$256 + \frac{1}{2^{0}}$

Schritt 3.2.1.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$256 + \frac{1}{1}$

Schritt 3.2.1.4

Dividiere $1$ durch $1$ .

$256 + 1$

Schritt 3.2.2

Addiere $256$ und $1$ .

$257$

Schritt 4

Ersetze die Aufsummierungen durch die gefundenen Werte.

$\frac{543203}{256} + 257$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Um $257$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{256}{256}$ .

$\frac{543203}{256} + 257 \cdot \frac{256}{256}$

Schritt 5.2

Kombiniere $257$ und $\frac{256}{256}$ .

$\frac{543203}{256} + \frac{257 \cdot 256}{256}$

Schritt 5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{543203 + 257 \cdot 256}{256}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $257$ mit $256$ .

$\frac{543203 + 65792}{256}$

Schritt 5.4.2

Addiere $543203$ und $65792$ .

$\frac{608995}{256}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{608995}{256}$

Dezimalform:

$2378.88671875$

Darstellung als gemischte Zahl:

$2378 \frac{227}{256}$