Elementarmathematik Beispiele

$\sum_{1}^{10} {(x - 14)}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(x - 14)}^{2}$ als $(x - 14) (x - 14)$ um.

$(x - 14) (x - 14)$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x - 14) (x - 14)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x - 14) - 14 (x - 14)$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 14 - 14 (x - 14)$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 14 - 14 x - 14 \cdot - 14$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 14 - 14 x - 14 \cdot - 14$

Schritt 1.3.1.2

Bringe $- 14$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 14 \cdot x - 14 x - 14 \cdot - 14$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $- 14$ mit $- 14$ .

$x^{2} - 14 x - 14 x + 196$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $14 x$ von $- 14 x$ .

$x^{2} - 28 x + 196$

Schritt 1.4

Schreibe die Summe um.

$\sum_{x = 1}^{10} x^{2} - 28 x + 196$

Schritt 2

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{x = 1}^{10} x^{2} - 28 x + 196 = \sum_{x = 1}^{10} x^{2} - 28 \sum_{x = 1}^{10} x + \sum_{x = 1}^{10} 196$

Schritt 3

Berechne $\sum_{x = 1}^{10} x^{2}$ .

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Schritt 3.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 3.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$\frac{10 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $6$ .

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)$ heraus.

$\frac{2 (5 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1))}{6}$

Schritt 3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (5 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1))}{2 (3)}$

Schritt 3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (5 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1))}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)}{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$\frac{5 (10 + 1) (20 + 1)}{3}$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $10$ und $1$ .

$\frac{5 \cdot 11 (20 + 1)}{3}$

Schritt 3.3.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $11$ .

$\frac{55 (20 + 1)}{3}$

Schritt 3.3.2.4

Addiere $20$ und $1$ .

$\frac{55 \cdot 21}{3}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.3.1

Mutltipliziere $55$ mit $21$ .

$\frac{1155}{3}$

Schritt 3.3.3.2

Dividiere $1155$ durch $3$ .

$385$

Schritt 4

Berechne $28 \sum_{x = 1}^{10} x$ .

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Schritt 4.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 4.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(- 28) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1.1

Addiere $10$ und $1$ .

$- 28 \frac{10 \cdot 11}{2}$

Schritt 4.3.1.2

Mutltipliziere $10$ mit $11$ .

$- 28 (\frac{110}{2})$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 28$ heraus.

$2 (- 14) \frac{110}{2}$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 14 \frac{110}{2}$

Schritt 4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 14 \cdot 110$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $- 14$ mit $110$ .

$- 1540$

Schritt 5

Berechne $\sum_{x = 1}^{10} 196$ .

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Schritt 5.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 5.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(196) (10)$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $196$ mit $10$ .

$1960$

Schritt 6

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$385 - 1540 + 1960$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Subtrahiere $1540$ von $385$ .

$- 1155 + 1960$

Schritt 7.2

Addiere $- 1155$ und $1960$ .

$805$