Elementarmathematik Beispiele

$\sum_{i = 1}^{50} 2^{2 i}$

Schritt 1

Die Summe einer endlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ einsetzt und vereinfachst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze $a_{i}$ und $a_{i + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{2^{2 (i + 1)}}{2^{2 i}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2^{2 (i + 1)}$ und $2^{2 i}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $2^{2 i}$ aus $2^{2 (i + 1)}$ heraus.

$r = \frac{2^{2 i} \cdot 2^{2 (i + 1) - 2 i}}{2^{2 i}}$

Schritt 2.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{2^{2 i} \cdot 2^{2 (i + 1) - 2 i}}{2^{2 i} \cdot 1}$

Schritt 2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{2^{2 i} \cdot 2^{2 (i + 1) - 2 i}}{2^{2 i} \cdot 1}$

Schritt 2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{2^{2 (i + 1) - 2 i}}{1}$

Schritt 2.2.1.2.4

Dividiere $2^{2 (i + 1) - 2 i}$ durch $1$ .

$r = 2^{2 (i + 1) - 2 i}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r = 2^{2 i + 2 \cdot 1 - 2 i}$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$r = 2^{2 i + 2 - 2 i}$

Schritt 2.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 i + 2 - 2 i$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1

Subtrahiere $2 i$ von $2 i$ .

$r = 2^{0 + 2}$

Schritt 2.2.3.2

Addiere $0$ und $2$ .

$r = 2^{2}$

Schritt 2.2.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$r = 4$

Schritt 3

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze $1$ für $i$ in $2^{2 i}$ ein.

$a = 2^{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$a = 2^{2}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$a = 4$

Schritt 4

Ersetze die Werte des Verhältnisses, des ersten Terms und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$4 \frac{1 - 4^{50}}{1 - 1 \cdot 4}$

Schritt 5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$4 \frac{1 - 4^{50}}{1 - 4}$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$4 \frac{1 - 4^{50}}{- 3}$

Schritt 5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 (- \frac{1 - 4^{50}}{3})$

Schritt 5.3

Multipliziere $4 (- \frac{1 - 4^{50}}{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 \frac{1 - 4^{50}}{3}$

Schritt 5.3.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1 - 4^{50}}{3}$ .

$\frac{- 4 (1 - 4^{50})}{3}$

Schritt 5.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 (1 - 4^{50})}{3}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{4 (1 - 4^{50})}{3}$

Dezimalform:

$1.6902008 \cdot 10^{30}$