Elementarmathematik Beispiele

$[\begin{array}{c} x + 1 & 2 & 3 \\ 4 & y - 1 & 5 \\ u & - 1 & z + 2 \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 x - 1 & t + 1 & 3 \\ v + 1 & - 3 & 5 \\ - 4 & w - 1 & 2 z - 1 \end{array}]$

Schritt 1

Bestimme die Funktionsregel.

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Schritt 1.1

Prüfe, ob die Funktionsregel linear ist.

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Schritt 1.1.1

Um zu ermitteln, ob die Tabelle einer Funktionsregel folgt, prüfe, ob die Werte der linearen Form $y = a x + b$ folgen.

$y = a x + b$

Schritt 1.1.2

Erzeuge eine Menge von Gleichungen aus der Tabelle, sodass $y = a x + b$ .

$3 = a (3) + b 5 = a (5) + b$

Schritt 1.1.3

Berechne die Werte von $a$ und $b$ .

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Schritt 1.1.3.1

Löse in $3 = a (3) + b$ nach $b$ auf.

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Schritt 1.1.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $a (3) + b = 3$ um.

$a (3) + b = 3$

$5 = a (5) + b$

Schritt 1.1.3.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $a$ .

$3 a + b = 3$

$5 = a (5) + b$

Schritt 1.1.3.1.3

Subtrahiere $3 a$ von beiden Seiten der Gleichung.

$b = 3 - 3 a$

$5 = a (5) + b$

$b = 3 - 3 a$

$5 = a (5) + b$

Schritt 1.1.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $b$ durch $3 - 3 a$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.1.3.2.1

Ersetze alle $b$ in $5 = a (5) + b$ durch $3 - 3 a$ .

$5 = a (5) + 3 - 3 a$

$b = 3 - 3 a$

Schritt 1.1.3.2.2

Vereinfache $5 = a (5) + 3 - 3 a$ .

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Schritt 1.1.3.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.3.2.2.1.1

Entferne die Klammern.

$5 = a (5) + 3 - 3 a$

$b = 3 - 3 a$

$5 = a (5) + 3 - 3 a$

$b = 3 - 3 a$

Schritt 1.1.3.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.2.2.2.1

Vereinfache $a (5) + 3 - 3 a$ .

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Schritt 1.1.3.2.2.2.1.1

Bringe $5$ auf die linke Seite von $a$ .

$5 = 5 a + 3 - 3 a$

$b = 3 - 3 a$

Schritt 1.1.3.2.2.2.1.2

Subtrahiere $3 a$ von $5 a$ .

$5 = 2 a + 3$

$b = 3 - 3 a$

$5 = 2 a + 3$

$b = 3 - 3 a$

$5 = 2 a + 3$

$b = 3 - 3 a$

$5 = 2 a + 3$

$b = 3 - 3 a$

$5 = 2 a + 3$

$b = 3 - 3 a$

Schritt 1.1.3.3

Löse in $5 = 2 a + 3$ nach $a$ auf.

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Schritt 1.1.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $2 a + 3 = 5$ um.

$2 a + 3 = 5$

$b = 3 - 3 a$

Schritt 1.1.3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $a$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.3.3.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 a = 5 - 3$

$b = 3 - 3 a$

Schritt 1.1.3.3.2.2

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$2 a = 2$

$b = 3 - 3 a$

$2 a = 2$

$b = 3 - 3 a$

Schritt 1.1.3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $2 a = 2$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 a = 2$ durch $2$ .

$\frac{2 a}{2} = \frac{2}{2}$

$b = 3 - 3 a$

Schritt 1.1.3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 a}{2} = \frac{2}{2}$

$b = 3 - 3 a$

Schritt 1.1.3.3.3.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{2}{2}$

$b = 3 - 3 a$

$a = \frac{2}{2}$

$b = 3 - 3 a$

$a = \frac{2}{2}$

$b = 3 - 3 a$

Schritt 1.1.3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.3.3.3.1

Dividiere $2$ durch $2$ .

$a = 1$

$b = 3 - 3 a$

$a = 1$

$b = 3 - 3 a$

$a = 1$

$b = 3 - 3 a$

$a = 1$

$b = 3 - 3 a$

Schritt 1.1.3.4

Ersetze alle Vorkommen von $a$ durch $1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.1.3.4.1

Ersetze alle $a$ in $b = 3 - 3 a$ durch $1$ .

$b = 3 - 3 \cdot 1$

$a = 1$

Schritt 1.1.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.4.2.1

Vereinfache $3 - 3 \cdot 1$ .

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Schritt 1.1.3.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$b = 3 - 3$

$a = 1$

Schritt 1.1.3.4.2.1.2

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$b = 0$

$a = 1$

$b = 0$

$a = 1$

$b = 0$

$a = 1$

$b = 0$

$a = 1$

Schritt 1.1.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$b = 0, a = 1$

Schritt 1.1.4

Berechne den Wert von $y$ unter Verwendung jedes $x$ -Wertes in der Relation und vergleiche diesen Wert mit dem gegebenen $y$ -Wert in der Relation.

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Schritt 1.1.4.1

Berechne den Wert von $y$ , wenn $a = 1$ , $b = 0$ und $x = 3$ .

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Schritt 1.1.4.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$y = 3 + 0$

Schritt 1.1.4.1.2

Addiere $3$ und $0$ .

$y = 3$

Schritt 1.1.4.2

Wenn die Tabelle eine lineare Funktionsregel hat, $y = y$ für den entsprechenden $x$ -Wert, $x = 3$ . Der Test wird bestanden, da $y = 3$ und $y = 3$ .

$3 = 3$

Schritt 1.1.4.3

Berechne den Wert von $y$ , wenn $a = 1$ , $b = 0$ und $x = 5$ .

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Schritt 1.1.4.3.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$y = 5 + 0$

Schritt 1.1.4.3.2

Addiere $5$ und $0$ .

$y = 5$

Schritt 1.1.4.4

Wenn die Tabelle eine lineare Funktionsregel hat, $y = y$ für den entsprechenden $x$ -Wert, $x = 5$ . Der Test wird bestanden, da $y = 5$ und $y = 5$ .

$5 = 5$

Schritt 1.1.4.5

Da für die entsprechenden $x$ -Werte $y = y$ , ist die Funktion linear.

Die Funktion ist linear

Schritt 1.2

Da alle $y = y$ , ist die Funktion linear und folgt der Form $y = x$ .

$y = x$

Schritt 2

Ermittle $x + 1$ .

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Schritt 2.1

Benutze die Gleichung der Funktionsregel, um $x + 1$ zu ermitteln.

$2 x + 1 - 1 = x + 1$

Schritt 2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x + 1 - 1$ .

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$2 x + 0 = x + 1$

Schritt 2.2.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x = x + 1$

Schritt 2.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x - x = 1$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $x$ von $2 x$ .

$x = 1$

Schritt 3

Ermittle $y - 1$ .

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Schritt 3.1

Benutze die Gleichung der Funktionsregel, um $y - 1$ zu ermitteln.

$- 3 = y - 1$

Schritt 3.2

Schreibe die Gleichung als $y - 1 = - 3$ um.

$y - 1 = - 3$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 3 + 1$

Schritt 3.3.2

Addiere $- 3$ und $1$ .

$y = - 2$

Schritt 4

Ermittle $u$ .

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Schritt 4.1

Benutze die Gleichung der Funktionsregel, um $u$ zu ermitteln.

$- 4 = u$

Schritt 4.2

Schreibe die Gleichung als $u = - 4$ um.

$u = - 4$

Schritt 5

Ermittle $z + 2$ .

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Schritt 5.1

Benutze die Gleichung der Funktionsregel, um $z + 2$ zu ermitteln.

$2 z - 1 = z + 2$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die $z$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 z - 1 - z = 2$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $z$ von $2 z$ .

$z - 1 = 2$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die nicht $z$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$z = 2 + 1$

Schritt 5.3.2

Addiere $2$ und $1$ .

$z = 3$

Schritt 6

Ermittle $t + 1$ .

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Schritt 6.1

Benutze die Gleichung der Funktionsregel, um $t + 1$ zu ermitteln.

$t + 1 = 2$

Schritt 6.2

Vereinfache.

$t + 1 = 2$

Schritt 7

Ermittle $v + 1$ .

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Schritt 7.1

Benutze die Gleichung der Funktionsregel, um $v + 1$ zu ermitteln.

$v + 1 = 4$

Schritt 7.2

Vereinfache.

$v + 1 = 4$

Schritt 8

Ermittle $w - 1$ .

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Schritt 8.1

Benutze die Gleichung der Funktionsregel, um $w - 1$ zu ermitteln.

$w - 1 = - 1$

Schritt 8.2

Vereinfache.

$w - 1 = - 1$

Schritt 9

Liste alle Lösungen auf.

$x = 1 y = - 2 u = - 4 z = 3 t + 1 = 2 v + 1 = 4 w - 1 = - 1$