Elementarmathematik Beispiele

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 3 x - 1}{9 x^{2} - 1}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{1}{3}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 3 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

Schritt 1.2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{1}{3}$ annähert.

$\frac{3 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{1}{3}$ für $x$ .

$\frac{3 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Schritt 3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{9 x^{2} - 1}$

Schritt 3.1.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{9 x^{2} - 1}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $9 x^{2}$ als ${(3 x)}^{2}$ um.

$\frac{0}{{(3 x)}^{2} - 1}$

Schritt 3.2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{0}{{(3 x)}^{2} - 1^{2}}$

Schritt 3.2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3 x$ und $b = 1$ .

$\frac{0}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

Schritt 3.3

Dividiere $0$ durch $(3 x + 1) (3 x - 1)$ .

$0$