Elementarmathematik Beispiele

$\frac{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}{x^{2} + x - 6}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{4} - lim_{x \to 2} 16}{x^{2} + x - 6}$

Schritt 1.2

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} - lim_{x \to 2} 16}{x^{2} + x - 6}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $16$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} - 1 \cdot 16}{x^{2} + x - 6}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2^{4} - 1 \cdot 16}{x^{2} + x - 6}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{16 - 1 \cdot 16}{x^{2} + x - 6}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$\frac{16 - 16}{x^{2} + x - 6}$

Schritt 3.1.3

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$\frac{0}{x^{2} + x - 6}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $x^{2} + x - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $1$ ist.

$- 2, 3$

Schritt 3.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{0}{(x - 2) (x + 3)}$

Schritt 3.3

Dividiere $0$ durch $(x - 2) (x + 3)$ .

$0$