Elementarmathematik Beispiele

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} + 2 x + 1}{x^{3} - 8}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} + lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 1}{x^{3} - 8}$

Schritt 2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 1}{x^{3} - 8}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 1}{x^{3} - 8}$

Schritt 4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 1}{x^{3} - 8}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x + 1}{x^{3} - 8}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} + 2 lim_{x \to 2} x + 1}{x^{3} - 8}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 + 1}{x^{3} - 8}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3 \cdot 4 + 2 \cdot 2 + 1}{x^{3} - 8}$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{12 + 2 \cdot 2 + 1}{x^{3} - 8}$

Schritt 7.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{12 + 4 + 1}{x^{3} - 8}$

Schritt 7.1.4

Addiere $12$ und $4$ .

$\frac{16 + 1}{x^{3} - 8}$

Schritt 7.1.5

Addiere $16$ und $1$ .

$\frac{17}{x^{3} - 8}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{17}{x^{3} - 2^{3}}$

Schritt 7.2.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{17}{(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{17}{(x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x + 2^{2})}$

Schritt 7.2.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{17}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$