Elementarmathematik Beispiele

$\frac{lim_{x \to 8} 6 x^{4} - 5 x^{3} - 2 x + 1}{3 x^{4} - 2 x - 7}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 6 x^{4} - lim_{x \to 8} 5 x^{3} - lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 1}{3 x^{4} - 2 x - 7}$

Schritt 2

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{6 lim_{x \to 8} x^{4} - lim_{x \to 8} 5 x^{3} - lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 1}{3 x^{4} - 2 x - 7}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - lim_{x \to 8} 5 x^{3} - lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 1}{3 x^{4} - 2 x - 7}$

Schritt 4

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 5 lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 1}{3 x^{4} - 2 x - 7}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 1}{3 x^{4} - 2 x - 7}$

Schritt 6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 2 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1}{3 x^{4} - 2 x - 7}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 2 lim_{x \to 8} x + 1}{3 x^{4} - 2 x - 7}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{6 \cdot 8^{4} - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 2 lim_{x \to 8} x + 1}{3 x^{4} - 2 x - 7}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{6 \cdot 8^{4} - 5 \cdot 8^{3} - 2 lim_{x \to 8} x + 1}{3 x^{4} - 2 x - 7}$

Schritt 8.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{6 \cdot 8^{4} - 5 \cdot 8^{3} - 2 \cdot 8 + 1}{3 x^{4} - 2 x - 7}$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Potenziere $8$ mit $4$ .

$\frac{6 \cdot 4096 - 5 \cdot 8^{3} - 2 \cdot 8 + 1}{3 x^{4} - 2 x - 7}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $6$ mit $4096$ .

$\frac{24576 - 5 \cdot 8^{3} - 2 \cdot 8 + 1}{3 x^{4} - 2 x - 7}$

Schritt 9.3

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\frac{24576 - 5 \cdot 512 - 2 \cdot 8 + 1}{3 x^{4} - 2 x - 7}$

Schritt 9.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $512$ .

$\frac{24576 - 2560 - 2 \cdot 8 + 1}{3 x^{4} - 2 x - 7}$

Schritt 9.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $8$ .

$\frac{24576 - 2560 - 16 + 1}{3 x^{4} - 2 x - 7}$

Schritt 9.6

Subtrahiere $2560$ von $24576$ .

$\frac{22016 - 16 + 1}{3 x^{4} - 2 x - 7}$

Schritt 9.7

Subtrahiere $16$ von $22016$ .

$\frac{22000 + 1}{3 x^{4} - 2 x - 7}$

Schritt 9.8

Addiere $22000$ und $1$ .

$\frac{22001}{3 x^{4} - 2 x - 7}$