Elementarmathematik Beispiele

$\frac{lim_{x \to - 5} 4 x^{2} + 21 x + 5}{3 x^{2} + 17 x + 10}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 5$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 5} 4 x^{2} + lim_{x \to - 5} 21 x + lim_{x \to - 5} 5}{3 x^{2} + 17 x + 10}$

Schritt 2

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 lim_{x \to - 5} x^{2} + lim_{x \to - 5} 21 x + lim_{x \to - 5} 5}{3 x^{2} + 17 x + 10}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{4 {(lim_{x \to - 5} x)}^{2} + lim_{x \to - 5} 21 x + lim_{x \to - 5} 5}{3 x^{2} + 17 x + 10}$

Schritt 4

Ziehe den Term $21$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 {(lim_{x \to - 5} x)}^{2} + 21 lim_{x \to - 5} x + lim_{x \to - 5} 5}{3 x^{2} + 17 x + 10}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 5$ annähert.

$\frac{4 {(lim_{x \to - 5} x)}^{2} + 21 lim_{x \to - 5} x + 5}{3 x^{2} + 17 x + 10}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 5$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 5$ für $x$ .

$\frac{4 {(- 5)}^{2} + 21 lim_{x \to - 5} x + 5}{3 x^{2} + 17 x + 10}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 5$ für $x$ .

$\frac{4 {(- 5)}^{2} + 21 \cdot - 5 + 5}{3 x^{2} + 17 x + 10}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$\frac{4 \cdot 25 + 21 \cdot - 5 + 5}{3 x^{2} + 17 x + 10}$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $25$ .

$\frac{100 + 21 \cdot - 5 + 5}{3 x^{2} + 17 x + 10}$

Schritt 7.1.3

Mutltipliziere $21$ mit $- 5$ .

$\frac{100 - 105 + 5}{3 x^{2} + 17 x + 10}$

Schritt 7.1.4

Subtrahiere $105$ von $100$ .

$\frac{- 5 + 5}{3 x^{2} + 17 x + 10}$

Schritt 7.1.5

Addiere $- 5$ und $5$ .

$\frac{0}{3 x^{2} + 17 x + 10}$

Schritt 7.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 7.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 10 = 30$ und deren Summe gleich $b = 17$ ist.

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Schritt 7.2.1.1

Faktorisiere $17$ aus $17 x$ heraus.

$\frac{0}{3 x^{2} + 17 (x) + 10}$

Schritt 7.2.1.2

Schreibe $17$ um als $2$ plus $15$

$\frac{0}{3 x^{2} + (2 + 15) x + 10}$

Schritt 7.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{0}{3 x^{2} + 2 x + 15 x + 10}$

Schritt 7.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{0}{(3 x^{2} + 2 x) + 15 x + 10}$

Schritt 7.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{0}{x (3 x + 2) + 5 (3 x + 2)}$

Schritt 7.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x + 2$ .

$\frac{0}{(3 x + 2) (x + 5)}$

Schritt 7.3

Dividiere $0$ durch $(3 x + 2) (x + 5)$ .

$0$