Elementarmathematik Beispiele

$- 4 a = [\begin{array}{c} 4 & - 2 \\ 0 & - 5 \end{array}]$

Schritt 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Schritt 2

Find the determinant.

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Schritt 2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$4 \cdot - 5 + 0 \cdot - 2$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 5$ .

$- 20 + 0 \cdot - 2$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $- 2$ .

$- 20 + 0$

Schritt 2.2.2

Addiere $- 20$ und $0$ .

$- 20$

Schritt 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Schritt 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 20} [\begin{array}{c} - 5 & 2 \\ 0 & 4 \end{array}]$

Schritt 5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{20} [\begin{array}{c} - 5 & 2 \\ 0 & 4 \end{array}]$

Schritt 6

Multipliziere $- \frac{1}{20}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{20} \cdot - 5 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \\ - \frac{1}{20} \cdot 0 & - \frac{1}{20} \cdot 4 \end{array}]$

Schritt 7

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 7.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{20}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{20} \cdot - 5 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \\ - \frac{1}{20} \cdot 0 & - \frac{1}{20} \cdot 4 \end{array}]$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $5$ aus $20$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{5 (4)} \cdot - 5 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \\ - \frac{1}{20} \cdot 0 & - \frac{1}{20} \cdot 4 \end{array}]$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{5 \cdot 4} \cdot (5 \cdot - 1) & - \frac{1}{20} \cdot 2 \\ - \frac{1}{20} \cdot 0 & - \frac{1}{20} \cdot 4 \end{array}]$

Schritt 7.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{5 \cdot 4} \cdot (5 \cdot - 1) & - \frac{1}{20} \cdot 2 \\ - \frac{1}{20} \cdot 0 & - \frac{1}{20} \cdot 4 \end{array}]$

Schritt 7.1.5

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{4} \cdot - 1 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \\ - \frac{1}{20} \cdot 0 & - \frac{1}{20} \cdot 4 \end{array}]$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{- 1}{4}$ und $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- - 1}{4} & - \frac{1}{20} \cdot 2 \\ - \frac{1}{20} \cdot 0 & - \frac{1}{20} \cdot 4 \end{array}]$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{20} \cdot 2 \\ - \frac{1}{20} \cdot 0 & - \frac{1}{20} \cdot 4 \end{array}]$

Schritt 7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{20}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{- 1}{20} \cdot 2 \\ - \frac{1}{20} \cdot 0 & - \frac{1}{20} \cdot 4 \end{array}]$

Schritt 7.4.2

Faktorisiere $2$ aus $20$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{- 1}{2 (10)} \cdot 2 \\ - \frac{1}{20} \cdot 0 & - \frac{1}{20} \cdot 4 \end{array}]$

Schritt 7.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{- 1}{2 \cdot 10} \cdot 2 \\ - \frac{1}{20} \cdot 0 & - \frac{1}{20} \cdot 4 \end{array}]$

Schritt 7.4.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{- 1}{10} \\ - \frac{1}{20} \cdot 0 & - \frac{1}{20} \cdot 4 \end{array}]$

Schritt 7.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{10} \\ - \frac{1}{20} \cdot 0 & - \frac{1}{20} \cdot 4 \end{array}]$

Schritt 7.6

Multipliziere $- \frac{1}{20} \cdot 0$ .

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Schritt 7.6.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{10} \\ 0 (\frac{1}{20}) & - \frac{1}{20} \cdot 4 \end{array}]$

Schritt 7.6.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{20}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{10} \\ 0 & - \frac{1}{20} \cdot 4 \end{array}]$

Schritt 7.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{20}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{10} \\ 0 & \frac{- 1}{20} \cdot 4 \end{array}]$

Schritt 7.7.2

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{10} \\ 0 & \frac{- 1}{4 (5)} \cdot 4 \end{array}]$

Schritt 7.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{10} \\ 0 & \frac{- 1}{4 \cdot 5} \cdot 4 \end{array}]$

Schritt 7.7.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{10} \\ 0 & \frac{- 1}{5} \end{array}]$

Schritt 7.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{10} \\ 0 & - \frac{1}{5} \end{array}]$