Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt{36 - x^{2}}$ , $g (x) = \sqrt{1 + x}$ , $(f + g) (x)$

Schritt 1

Ersetze die Funktionsbezeichner in $f + g$ durch die tatsächlichen Funktionen.

$\sqrt{36 - x^{2}} + \sqrt{1 + x}$

Schritt 2

Berechne $f + g$ bei $x$ .

$\sqrt{36 - {(x)}^{2}} + \sqrt{1 + x}$

Schritt 3

Entferne die Klammern.

$\sqrt{36 - {(x)}^{2}} + \sqrt{1 + x}$

Schritt 4

Setze den Radikanden in $\sqrt{36 - {(x)}^{2}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$36 - {(x)}^{2} \geq 0$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $36$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x^{2} \geq - 36$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} \geq - 36$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Term in $- x^{2} \geq - 36$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 36}{- 1}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 36}{- 1}$

Schritt 5.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 36}{- 1}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Dividiere $- 36$ durch $- 1$ .

$x^{2} \leq 36$

Schritt 5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{36}$

Schritt 5.4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq \sqrt{36}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache $\sqrt{36}$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$| x | \leq \sqrt{6^{2}}$

Schritt 5.4.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq | 6 |$

Schritt 5.4.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $6$ ist $6$ .

$| x | \leq 6$

Schritt 5.5

Schreibe $| x | \leq 6$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 5.5.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 5.5.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \leq 6$

Schritt 5.5.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 5.5.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \leq 6$

Schritt 5.5.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \leq 6 & x \geq 0 \\ - x \leq 6 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 5.6

Bestimme die Schnittmenge von $x \leq 6$ und $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 6$

Schritt 5.7

Löse $- x \leq 6$ , wenn $x < 0$ ergibt.

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Schritt 5.7.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \leq 6$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.7.1.1

Teile jeden Term in $- x \leq 6$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{6}{- 1}$

Schritt 5.7.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.7.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \geq \frac{6}{- 1}$

Schritt 5.7.1.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{6}{- 1}$

Schritt 5.7.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.7.1.3.1

Dividiere $6$ durch $- 1$ .

$x \geq - 6$

Schritt 5.7.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq - 6$ und $x < 0$ .

$- 6 \leq x < 0$

Schritt 5.8

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- 6 \leq x \leq 6$

Schritt 6

Setze den Radikanden in $\sqrt{1 + x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$1 + x \geq 0$

Schritt 7

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq - 1$

Schritt 8

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- 1, 6]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 1 \leq x \leq 6}$

Schritt 9