Elementarmathematik Beispiele

$\log_{8} (\frac{1}{\sqrt[5]{64}})$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $64$ als $2^{5} \cdot 2$ um.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $32$ aus $64$ heraus.

$\log_{8} (\frac{1}{\sqrt[5]{32 (2)}})$

Schritt 1.1.2

Schreibe $32$ als $2^{5}$ um.

$\log_{8} (\frac{1}{\sqrt[5]{2^{5} \cdot 2}})$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\log_{8} (\frac{1}{2 \sqrt[5]{2}})$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt[5]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{4}}$ .

$\log_{8} (\frac{1}{2 \sqrt[5]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{4}})$

Schritt 3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt[5]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{4}}$ .

$\log_{8} (\frac{{\sqrt[5]{2}}^{4}}{2 \sqrt[5]{2} {\sqrt[5]{2}}^{4}})$

Schritt 3.2

Bewege $\sqrt[5]{2}$ .

$\log_{8} (\frac{{\sqrt[5]{2}}^{4}}{2 (\sqrt[5]{2} {\sqrt[5]{2}}^{4})})$

Schritt 3.3

Potenziere $\sqrt[5]{2}$ mit $1$ .

$\log_{8} (\frac{{\sqrt[5]{2}}^{4}}{2 ({\sqrt[5]{2}}^{1} {\sqrt[5]{2}}^{4})})$

Schritt 3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log_{8} (\frac{{\sqrt[5]{2}}^{4}}{2 {\sqrt[5]{2}}^{1 + 4}})$

Schritt 3.5

Addiere $1$ und $4$ .

$\log_{8} (\frac{{\sqrt[5]{2}}^{4}}{2 {\sqrt[5]{2}}^{5}})$

Schritt 3.6

Schreibe ${\sqrt[5]{2}}^{5}$ als $2$ um.

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Schritt 3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{2}$ als $2^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$\log_{8} (\frac{{\sqrt[5]{2}}^{4}}{2 {(2^{\frac{1}{5}})}^{5}})$

Schritt 3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{8} (\frac{{\sqrt[5]{2}}^{4}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{5} \cdot 5}})$

Schritt 3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $5$ .

$\log_{8} (\frac{{\sqrt[5]{2}}^{4}}{2 \cdot 2^{\frac{5}{5}}})$

Schritt 3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{8} (\frac{{\sqrt[5]{2}}^{4}}{2 \cdot 2^{\frac{5}{5}}})$

Schritt 3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\log_{8} (\frac{{\sqrt[5]{2}}^{4}}{2 \cdot 2^{1}})$

Schritt 3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\log_{8} (\frac{{\sqrt[5]{2}}^{4}}{2 \cdot 2})$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Schreibe ${\sqrt[5]{2}}^{4}$ als $\sqrt[5]{2^{4}}$ um.

$\log_{8} (\frac{\sqrt[5]{2^{4}}}{2 \cdot 2})$

Schritt 4.2

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\log_{8} (\frac{\sqrt[5]{16}}{2 \cdot 2})$

Schritt 5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\log_{8} (\frac{\sqrt[5]{16}}{4})$

Schritt 6

Schreibe $\log_{8} (\frac{\sqrt[5]{16}}{4})$ um unter Verwendung der Formel zur Basisumrechnung.

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Schritt 6.1

Die Regel zur Basisumrechung kann genutzt werden, wenn $a$ und $b$ größer als $0$ und nicht gleich $1$ sind und $x$ größer als $0$ ist.

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Schritt 6.2

Setze Werte für die Variablen in die Formel zur Basisumrechnung ein, unter Verwendung von $b = 10$ .

$\frac{\log (\frac{\sqrt[5]{16}}{4})}{\log (8)}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\log (\frac{\sqrt[5]{16}}{4})}{\log (8)}$

Dezimalform:

$- 0.4$