Elementarmathematik Beispiele

$2 (\log_{5} (x) + 2 \log_{5} (y) - 3 \log_{5} (z))$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache $2 \log_{5} (y)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$2 (\log_{5} (x) + \log_{5} (y^{2}) - 3 \log_{5} (z))$

Schritt 1.2

Vereinfache $- 3 \log_{5} (z)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$2 (\log_{5} (x) + \log_{5} (y^{2}) - \log_{5} (z^{3}))$

Schritt 2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$2 (\log_{5} (x y^{2}) - \log_{5} (z^{3}))$

Schritt 3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \log_{5} (\frac{x y^{2}}{z^{3}})$

Schritt 4

Vereinfache $2 \log_{5} (\frac{x y^{2}}{z^{3}})$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{5} ({(\frac{x y^{2}}{z^{3}})}^{2})$

Schritt 5

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x y^{2}}{z^{3}}$ an.

$\log_{5} (\frac{{(x y^{2})}^{2}}{{(z^{3})}^{2}})$

Schritt 5.2

Wende die Produktregel auf $x y^{2}$ an.

$\log_{5} (\frac{x^{2} {(y^{2})}^{2}}{{(z^{3})}^{2}})$

Schritt 6

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{2}$ .

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Schritt 6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{5} (\frac{x^{2} y^{2 \cdot 2}}{{(z^{3})}^{2}})$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\log_{5} (\frac{x^{2} y^{4}}{{(z^{3})}^{2}})$

Schritt 7

Multipliziere die Exponenten in ${(z^{3})}^{2}$ .

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Schritt 7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{5} (\frac{x^{2} y^{4}}{z^{3 \cdot 2}})$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\log_{5} (\frac{x^{2} y^{4}}{z^{6}})$

Schritt 8

Schreibe $\log_{5} (\frac{x^{2} y^{4}}{z^{6}})$ um unter Verwendung der Formel zur Basisumrechnung.

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Schritt 8.1

Die Regel zur Basisumrechung kann genutzt werden, wenn $a$ und $b$ größer als $0$ und nicht gleich $1$ sind und $x$ größer als $0$ ist.

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Schritt 8.2

Setze Werte für die Variablen in die Formel zur Basisumrechnung ein, unter Verwendung von $b = 10$ .

$\frac{\log (\frac{x^{2} y^{4}}{z^{6}})}{\log (5)}$