Elementarmathematik Beispiele

$\ln (\frac{e^{3} \sqrt[4]{x^{2}}}{\sqrt[3]{y}})$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $\sqrt[4]{x^{2}}$ als $\sqrt{\sqrt{x^{2}}}$ um.

$\ln (\frac{e^{3} \sqrt{\sqrt{x^{2}}}}{\sqrt[3]{y}})$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\ln (\frac{e^{3} \sqrt{x}}{\sqrt[3]{y}})$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{e^{3} \sqrt{x}}{\sqrt[3]{y}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{y}}^{2}}{{\sqrt[3]{y}}^{2}}$ .

$\ln (\frac{e^{3} \sqrt{x}}{\sqrt[3]{y}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{y}}^{2}}{{\sqrt[3]{y}}^{2}})$

Schritt 3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{e^{3} \sqrt{x}}{\sqrt[3]{y}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{y}}^{2}}{{\sqrt[3]{y}}^{2}}$ .

$\ln (\frac{e^{3} \sqrt{x} {\sqrt[3]{y}}^{2}}{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{y}}^{2}})$

Schritt 3.2

Potenziere $\sqrt[3]{y}$ mit $1$ .

$\ln (\frac{e^{3} \sqrt{x} {\sqrt[3]{y}}^{2}}{{\sqrt[3]{y}}^{1} {\sqrt[3]{y}}^{2}})$

Schritt 3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (\frac{e^{3} \sqrt{x} {\sqrt[3]{y}}^{2}}{{\sqrt[3]{y}}^{1 + 2}})$

Schritt 3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\ln (\frac{e^{3} \sqrt{x} {\sqrt[3]{y}}^{2}}{{\sqrt[3]{y}}^{3}})$

Schritt 3.5

Schreibe ${\sqrt[3]{y}}^{3}$ als $y$ um.

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Schritt 3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{y}$ als $y^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\ln (\frac{e^{3} \sqrt{x} {\sqrt[3]{y}}^{2}}{{(y^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

Schritt 3.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{e^{3} \sqrt{x} {\sqrt[3]{y}}^{2}}{y^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

Schritt 3.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$\ln (\frac{e^{3} \sqrt{x} {\sqrt[3]{y}}^{2}}{y^{\frac{3}{3}}})$

Schritt 3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{e^{3} \sqrt{x} {\sqrt[3]{y}}^{2}}{y^{\frac{3}{3}}})$

Schritt 3.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{e^{3} \sqrt{x} {\sqrt[3]{y}}^{2}}{y^{1}})$

Schritt 3.5.5

Vereinfache.

$\ln (\frac{e^{3} \sqrt{x} {\sqrt[3]{y}}^{2}}{y})$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Schreibe ${\sqrt[3]{y}}^{2}$ als $\sqrt[3]{y^{2}}$ um.

$\ln (\frac{e^{3} \sqrt{x} \sqrt[3]{y^{2}}}{y})$

Schritt 4.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.2.1

Forme den Ausdruck um unter Verwendung des kleinsten gemeinsamen Index von $6$ .

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Schritt 4.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{y^{2}}$ als $y^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

$\ln (\frac{e^{3} (y^{\frac{2}{3}} \sqrt{x})}{y})$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe $y^{\frac{2}{3}}$ als $y^{\frac{4}{6}}$ um.

$\ln (\frac{e^{3} (y^{\frac{4}{6}} \sqrt{x})}{y})$

Schritt 4.2.1.3

Schreibe $y^{\frac{4}{6}}$ als $\sqrt[6]{y^{4}}$ um.

$\ln (\frac{e^{3} (\sqrt[6]{y^{4}} \sqrt{x})}{y})$

Schritt 4.2.1.4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\ln (\frac{e^{3} (\sqrt[6]{y^{4}} x^{\frac{1}{2}})}{y})$

Schritt 4.2.1.5

Schreibe $x^{\frac{1}{2}}$ als $x^{\frac{3}{6}}$ um.

$\ln (\frac{e^{3} (\sqrt[6]{y^{4}} x^{\frac{3}{6}})}{y})$

Schritt 4.2.1.6

Schreibe $x^{\frac{3}{6}}$ als $\sqrt[6]{x^{3}}$ um.

$\ln (\frac{e^{3} (\sqrt[6]{y^{4}} \sqrt[6]{x^{3}})}{y})$

Schritt 4.2.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\ln (\frac{e^{3} \sqrt[6]{y^{4} x^{3}}}{y})$