Elementarmathematik Beispiele

$8 \log_{2} (\sqrt{3 x - 2}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache $8 \log_{2} (\sqrt{3 x - 2})$ , indem du $8$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{2} ({\sqrt{3 x - 2}}^{8}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Schritt 1.2

Schreibe ${\sqrt{3 x - 2}}^{8}$ als ${(3 x - 2)}^{4}$ um.

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Schritt 1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 x - 2}$ als ${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\log_{2} ({({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{8}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Schritt 1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 8}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $8$ .

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{8}{2}}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Schritt 1.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 1.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{2 \cdot 4}{2}}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Schritt 1.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Schritt 1.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Schritt 1.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{4}{1}}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Schritt 1.2.4.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{4}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Schritt 1.3

Die logarithmische Basis $2$ von $4$ ist $2$ .

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{4}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + 2$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{{(3 x - 2)}^{4}}{\frac{4}{x}}) + 2$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{4} \frac{x}{4}) + 2$

Schritt 3.2

Kombiniere ${(3 x - 2)}^{4}$ und $\frac{x}{4}$ .

$\log_{2} (\frac{{(3 x - 2)}^{4} x}{4}) + 2$

Schritt 4

Stelle die Faktoren in $\log_{2} (\frac{{(3 x - 2)}^{4} x}{4}) + 2$ um.

$\log_{2} (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4}) + 2$

Schritt 5

Schreibe $\log_{2} (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4})$ um unter Verwendung der Formel zur Basisumrechnung.

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Schritt 5.1

Die Regel zur Basisumrechung kann genutzt werden, wenn $a$ und $b$ größer als $0$ und nicht gleich $1$ sind und $x$ größer als $0$ ist.

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} + 2$

Schritt 5.2

Setze Werte für die Variablen in die Formel zur Basisumrechnung ein, unter Verwendung von $b = 10$ .

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4})}{\log (2)} + 2$

Schritt 6

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\log (2)}{\log (2)}$ .

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4})}{\log (2)} + \frac{2 \log (2)}{\log (2)}$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4}) + 2 \log (2)}{\log (2)}$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Vereinfache $2 \log (2)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4}) + \log (2^{2})}{\log (2)}$

Schritt 8.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4}) + \log (4)}{\log (2)}$

Schritt 8.3

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4} \cdot 4)}{\log (2)}$

Schritt 8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4} \cdot 4)}{\log (2)}$

Schritt 8.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\log (x {(3 x - 2)}^{4})}{\log (2)}$