Elementarmathematik Beispiele

$\sin (\arcsin (x) + \arccos (x))$

Schritt 1

Wende die Summenformel für den Sinus an, um den Ausdruck zu vereinfachen. Die Formel besagt, dass $\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ .

$\sin (\arcsin (x)) \cos (\arccos (x)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

Schritt 2

Entferne die Klammern.

$\sin (\arcsin (x)) \cos (\arccos (x)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Die Funktionen Sinus und Arkussinus sind Inverse.

$x \cos (\arccos (x)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

Schritt 3.2

Die Funktionen Kosinus und Arkuskosinus sind Inverse.

$x \cdot x + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

Schritt 3.4

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ , $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arcsin (x)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ verläuft. Folglich ist $\cos (\arcsin (x))$ $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$x^{2} + \sqrt{1 - x^{2}} \sin (\arccos (x))$

Schritt 3.5

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x^{2} + \sqrt{1^{2} - x^{2}} \sin (\arccos (x))$

Schritt 3.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sin (\arccos (x))$

Schritt 3.7

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arccos (x)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ verläuft. Folglich ist $\sin (\arccos (x))$ $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1 - x^{2}}$

Schritt 3.8

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

Schritt 3.9

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 3.10

Multipliziere $\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

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Schritt 3.10.1

Potenziere $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ mit $1$ .

$x^{2} + {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 3.10.2

Potenziere $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ mit $1$ .

$x^{2} + {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}$

Schritt 3.10.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2} + {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}$

Schritt 3.10.4

Addiere $1$ und $1$ .

$x^{2} + {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$

Schritt 3.11

Schreibe ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ als $(1 + x) (1 - x)$ um.

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Schritt 3.11.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ als ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x^{2} + {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 3.11.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.11.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.11.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.11.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.11.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{1}$

Schritt 3.11.5

Vereinfache.

$x^{2} + (1 + x) (1 - x)$

Schritt 3.12

Multipliziere $(1 + x) (1 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 1 (1 - x) + x (1 - x)$

Schritt 3.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)$

Schritt 3.12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Schritt 3.13

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.13.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$x^{2} + 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Schritt 3.13.1.2

Mutltipliziere $- x$ mit $1$ .

$x^{2} + 1 - x + x \cdot 1 + x (- x)$

Schritt 3.13.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} + 1 - x + x + x (- x)$

Schritt 3.13.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} + 1 - x + x - x \cdot x$

Schritt 3.13.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.13.1.5.1

Bewege $x$ .

$x^{2} + 1 - x + x - (x \cdot x)$

Schritt 3.13.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + 1 - x + x - x^{2}$

Schritt 3.13.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$x^{2} + 1 + 0 - x^{2}$

Schritt 3.13.3

Addiere $1$ und $0$ .

$x^{2} + 1 - x^{2}$

Schritt 4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} + 1 - x^{2}$ .

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Schritt 4.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$0 + 1$

Schritt 4.2

Addiere $0$ und $1$ .

$1$