Elementarmathematik Beispiele

$\cos (\frac{3 π}{4} - \frac{7 π}{4})$

Schritt 1

Wende die Differenzformel für den Kosinus an, um den Ausdruck zu vereinfachen. Die Formel besagt, dass $\cos (A - B) = \cos (A) \cos (B) + \sin (A) \sin (B)$ .

$\cos (\frac{3 π}{4}) \cdot \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 2

Entferne die Klammern.

$\cos (\frac{3 π}{4}) \cdot \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$- \cos (\frac{π}{4}) \cdot \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 3.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 3.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 3.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 3.5

Multipliziere $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 3.5.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 3.5.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 3.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 3.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 3.5.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2^{1}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 3.6.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{2}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 3.7.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{2 (1)}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 3.8

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$- \frac{1}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 3.9

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 3.10

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 3.11

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 3.12

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Schritt 3.12.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.12.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.12.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.12.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.12.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.12.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Schritt 3.13

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.13.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{1}{2} - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Schritt 3.13.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Schritt 3.13.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 3.13.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.13.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 3.13.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2} - \frac{2^{1}}{4}$

Schritt 3.13.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{1}{2} - \frac{2}{4}$

Schritt 3.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 3.14.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{1}{2} - \frac{2 (1)}{4}$

Schritt 3.14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.14.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- \frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 - 1}{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$\frac{- 2}{2}$

Schritt 4.2.2

Dividiere $- 2$ durch $2$ .

$- 1$