Elementarmathematik Beispiele

$\csc (\frac{15 π}{8})$

Schritt 1

Ersetze $\csc (\frac{15 π}{8})$ durch einen äquivalenten Ausdruck $\frac{1}{\sin (\frac{15 π}{8})}$ unter Verwendung der fundamentalen Identitätsgleichungen.

$\frac{1}{\sin (\frac{15 π}{8})}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Wandle von $\frac{1}{\sin (\frac{15 π}{8})}$ nach $\csc (\frac{15 π}{8})$ um.

$\csc (\frac{15 π}{8})$

Schritt 2.2

Der genau Wert von $\csc (\frac{15 π}{8})$ ist $- \frac{2}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}$ .

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{15 π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\csc (\frac{\frac{15 π}{4}}{2})$

Schritt 2.2.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (\frac{\frac{15 π}{4}}{2})$ an.

$\frac{1}{\sin (\frac{\frac{15 π}{4}}{2})}$

Schritt 2.2.3

Wende die Halbwinkelformel für den Sinus an

$\frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{15 π}{4})}{2}}}$

Schritt 2.2.4

Change the $\pm$ to $-$ because cosecant is negative in the fourth quadrant.

$\frac{1}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{15 π}{4})}{2}}}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache $\frac{1}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{15 π}{4})}{2}}}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 2.2.5.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{15 π}{4})}{2}}}$

Schritt 2.2.5.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{15 π}{4})}{2}}}$

Schritt 2.2.5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.5.2.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{2}}}$

Schritt 2.2.5.2.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}}$

Schritt 2.2.5.2.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}$

Schritt 2.2.5.2.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}$

Schritt 2.2.5.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}}$

Schritt 2.2.5.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.5.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}$

Schritt 2.2.5.3.2

Multipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.2.5.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}$

Schritt 2.2.5.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}}$

Schritt 2.2.5.3.3

Schreibe $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$- \frac{1}{\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}}$

Schritt 2.2.5.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.5.3.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- \frac{1}{\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}}$

Schritt 2.2.5.3.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- \frac{1}{\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}$

Schritt 2.2.5.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (1 \frac{2}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}})$

Schritt 2.2.5.5

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}$ mit $1$ .

$- \frac{2}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{2}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}$

Dezimalform:

$- 2.61312592 \dots$