Elementarmathematik Beispiele

$y = 1 + \cos (4 x + \frac{π}{3})$

Schritt 1

Schreibe den Ausdruck zu $\cos (4 x + \frac{π}{3}) + 1$ um.

$\cos (4 x + \frac{π}{3}) + 1$

Schritt 2

Wende die Form $a \cos (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = 1$

$b = 4$

$c = - \frac{π}{3}$

$d = 1$

Schritt 3

Bestimme die Amplitude $| a |$ .

Amplitude: $1$

Schritt 4

Ermittle die Periode mithilfe der Formel $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Schritt 4.1

Ermittele die Periode von $\cos (4 x + \frac{π}{3})$ .

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Schritt 4.1.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.1.2

Ersetze $b$ durch $4$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Schritt 4.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Schritt 4.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 4.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{2 (π)}{4}$

Schritt 4.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{2}$

Schritt 4.2

Ermittele die Periode von $1$ .

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Schritt 4.2.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.2

Ersetze $b$ durch $4$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Schritt 4.2.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 4.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{2 (π)}{4}$

Schritt 4.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{2}$

Schritt 4.3

Die Periode der Summe/Differenz trigonometrischer Funktionen ist das Maximum der individuellen Perioden.

$\frac{π}{2}$

Schritt 5

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

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Schritt 5.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{- \frac{π}{3}}{4}$

Schritt 5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

Phasenverschiebung: $- \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 5.4

Multipliziere $- \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{π}{3}$ .

Phasenverschiebung: $- \frac{π}{4 \cdot 3}$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

Phasenverschiebung: $- \frac{π}{12}$

Schritt 6

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: $1$

Periode: $\frac{π}{2}$

Phasenverschiebung: $- \frac{π}{12}$ ( $\frac{π}{12}$ nach links)

Vertikale Verschiebung: $1$

Schritt 7