Elementarmathematik Beispiele

$y = - 2 + 3 \cos (\frac{2}{3} x - \frac{π}{3})$

Schritt 1

Schreibe den Ausdruck zu $3 \cos (\frac{2 x}{3} - \frac{π}{3}) - 2$ um.

$3 \cos (\frac{2 x}{3} - \frac{π}{3}) - 2$

Schritt 2

Wende die Form $a \cos (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = 3$

$b = \frac{2}{3}$

$c = \frac{π}{3}$

$d = - 2$

Schritt 3

Bestimme die Amplitude $| a |$ .

Amplitude: $3$

Schritt 4

Ermittle die Periode mithilfe der Formel $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Schritt 4.1

Ermittele die Periode von $3 \cos (\frac{2 x}{3} - \frac{π}{3})$ .

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Schritt 4.1.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.1.2

Ersetze $b$ durch $\frac{2}{3}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{2}{3} |}$

Schritt 4.1.3

$\frac{2}{3}$ ist ungefähr $0.\overline{6}$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{3}{2}$

Schritt 4.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$2 (π) \frac{3}{2}$

Schritt 4.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 π \frac{3}{2}$

Schritt 4.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$π \cdot 3$

Schritt 4.1.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$3 π$

Schritt 4.2

Ermittele die Periode von $- 2$ .

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Schritt 4.2.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.2

Ersetze $b$ durch $\frac{2}{3}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{2}{3} |}$

Schritt 4.2.3

$\frac{2}{3}$ ist ungefähr $0.\overline{6}$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$2 (π) \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 π \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$π \cdot 3$

Schritt 4.2.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$3 π$

Schritt 4.3

Die Periode der Summe/Differenz trigonometrischer Funktionen ist das Maximum der individuellen Perioden.

$3 π$

Schritt 5

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

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Schritt 5.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{\frac{π}{3}}{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

Phasenverschiebung: $\frac{π}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Phasenverschiebung: $\frac{π}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Schritt 5.4.2

Forme den Ausdruck um.

Phasenverschiebung: $π (\frac{1}{2})$

Schritt 5.5

Kombiniere $π$ und $\frac{1}{2}$ .

Phasenverschiebung: $\frac{π}{2}$

Schritt 6

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: $3$

Periode: $3 π$

Phasenverschiebung: $\frac{π}{2}$ ( $\frac{π}{2}$ nach rechts)

Vertikale Verschiebung: $- 2$

Schritt 7