Elementarmathematik Beispiele

$(\sin (x) - 1) (\tan (x) + \sec (x)) = - \cos (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$(\sin (x) - 1) (\tan (x) + \sec (x))$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$(\sin (x) - 1) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec (x))$

Schritt 2.1.2

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$(\sin (x) - 1) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Schritt 2.2

Multipliziere $(\sin (x) - 1) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}) - 1 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} - 1 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Multipliziere $\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 2.3.1.1.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 2.3.1.1.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 2.3.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 2.3.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 2.3.1.2

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 2.3.1.3

Schreibe $- 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ als $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ um.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 2.3.1.4

Schreibe $- 1 \frac{1}{\cos (x)}$ als $- \frac{1}{\cos (x)}$ um.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 0 - \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 2.3.3

Addiere $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ und $0$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin^{2} (x) - 1}{\cos (x)}$

Schritt 2.5

Stelle $\sin^{2} (x)$ und $- 1$ um.

$\frac{- 1 + \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 2.6

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- 1 (1) + \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))}{\cos (x)}$

Schritt 2.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ heraus.

$\frac{- 1 (1 - \sin^{2} (x))}{\cos (x)}$

Schritt 2.9

Schreibe $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ als $- (1 - \sin^{2} (x))$ um.

$\frac{- (1 - \sin^{2} (x))}{\cos (x)}$

Schritt 2.10

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{- \cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 2.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\cos^{2} (x)$ und $\cos (x)$ .

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Schritt 2.11.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $- \cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\cos (x)}$

Schritt 2.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.11.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1}$

Schritt 2.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1}$

Schritt 2.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \cos (x)}{1}$

Schritt 2.11.2.4

Dividiere $- \cos (x)$ durch $1$ .

$- \cos (x)$

Schritt 3

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$(\sin (x) - 1) (\tan (x) + \sec (x)) = - \cos (x)$ ist eine Identitätsgleichung