Elementarmathematik Beispiele

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} - \tan (x) = \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} - \tan (x)$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 2.2

Um $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 2.3

Um $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Schritt 2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(1 - \sin (x)) \cos (x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ mit $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)} - \frac{\sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Schritt 2.4.3

Stelle die Faktoren von $(1 - \sin (x)) \cos (x)$ um.

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} - \frac{\sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\cos (x) \cos (x) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Multipliziere $\cos (x) \cos (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Schritt 2.6.1.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Schritt 2.6.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Schritt 2.6.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Schritt 2.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Schritt 2.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Schritt 2.6.4

Multipliziere $- \sin (x) (- \sin (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Schritt 2.6.4.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Schritt 2.6.4.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Schritt 2.6.4.4

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Schritt 2.6.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Schritt 2.6.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Schritt 2.6.5

Schreibe $\cos^{2} (x) - \sin (x) + \sin^{2} (x)$ in eine faktorisierte Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.5.1

Ordne Terme um.

$\frac{- \sin (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Schritt 2.6.5.2

Ordne Terme um.

$\frac{- \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Schritt 2.6.5.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{- \sin (x) + 1}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Schritt 2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- \sin (x) + 1$ und $1 - \sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.1

Stelle die Terme um.

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Schritt 2.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Schritt 2.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 3

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} - \tan (x) = \frac{1}{\cos (x)}$ ist eine Identitätsgleichung