Elementarmathematik Beispiele

$\csc (x) (\csc (x) - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \cot (x) = \csc^{2} (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\csc (x) (\csc (x) - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \cot (x)$

Schritt 2

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 2.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (x)$ an.

$\frac{1}{\sin (x)} (\csc (x) - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \cot (x)$

Schritt 2.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (x)$ an.

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \cot (x)$

Schritt 2.3

Schreibe $\cot (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x) + \cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.2

Addiere $- \cos (x)$ und $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) + \frac{\sin (x) + 0}{\sin (x)}$

Schritt 3.3

Addiere $\sin (x)$ und $0$ .

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.4.2

Multipliziere $\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

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Schritt 3.4.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin (x)}$ mit $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.4.2.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.4.2.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.4.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.4.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $- \sin (x)$ heraus.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} (\sin (x) \cdot - 1) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} (\sin (x) \cdot - 1) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1 + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1 + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1 + 1$

Schritt 3.5

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + 0$

Schritt 3.6

Addiere $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ und $0$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4

Schreibe $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ als $\csc^{2} (x)$ um.

$\csc^{2} (x)$

Schritt 5

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\csc (x) (\csc (x) - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \cot (x) = \csc^{2} (x)$ ist eine Identitätsgleichung