Elementarmathematik Beispiele

$\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)} - \cot (a) = \csc (a)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)} - \cot (a)$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Schreibe $\cot (a)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)} - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}$

Schritt 2.2

Um $\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (a)}{\sin (a)}$ .

$\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)} \cdot \frac{\sin (a)}{\sin (a)} - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}$

Schritt 2.3

Um $- \frac{\cos (a)}{\sin (a)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 - \cos (a)}{1 - \cos (a)}$ .

$\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)} \cdot \frac{\sin (a)}{\sin (a)} - \frac{\cos (a)}{\sin (a)} \cdot \frac{1 - \cos (a)}{1 - \cos (a)}$

Schritt 2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(1 - \cos (a)) \sin (a)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)}$ mit $\frac{\sin (a)}{\sin (a)}$ .

$\frac{\sin (a) \sin (a)}{(1 - \cos (a)) \sin (a)} - \frac{\cos (a)}{\sin (a)} \cdot \frac{1 - \cos (a)}{1 - \cos (a)}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $\frac{\cos (a)}{\sin (a)}$ mit $\frac{1 - \cos (a)}{1 - \cos (a)}$ .

$\frac{\sin (a) \sin (a)}{(1 - \cos (a)) \sin (a)} - \frac{\cos (a) (1 - \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Schritt 2.4.3

Stelle die Faktoren von $(1 - \cos (a)) \sin (a)$ um.

$\frac{\sin (a) \sin (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))} - \frac{\cos (a) (1 - \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (a) \sin (a) - \cos (a) (1 - \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Multipliziere $\sin (a) \sin (a)$ .

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Schritt 2.6.1.1

Potenziere $\sin (a)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{1} (a) \sin (a) - \cos (a) (1 - \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Schritt 2.6.1.2

Potenziere $\sin (a)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{1} (a) \sin^{1} (a) - \cos (a) (1 - \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Schritt 2.6.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sin (a)}^{1 + 1} - \cos (a) (1 - \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Schritt 2.6.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) (1 - \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Schritt 2.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) \cdot 1 - \cos (a) (- \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Schritt 2.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) - \cos (a) (- \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Schritt 2.6.4

Multipliziere $- \cos (a) (- \cos (a))$ .

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Schritt 2.6.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) + 1 \cos (a) \cos (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Schritt 2.6.4.2

Mutltipliziere $\cos (a)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) + \cos (a) \cos (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Schritt 2.6.4.3

Potenziere $\cos (a)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) + \cos^{1} (a) \cos (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Schritt 2.6.4.4

Potenziere $\cos (a)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) + \cos^{1} (a) \cos^{1} (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Schritt 2.6.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) + {\cos (a)}^{1 + 1}}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Schritt 2.6.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) + \cos^{2} (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Schritt 2.6.5

Schreibe $\sin^{2} (a) - \cos (a) + \cos^{2} (a)$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.6.5.1

Ordne Terme um.

$\frac{- \cos (a) + \sin^{2} (a) + \cos^{2} (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Schritt 2.6.5.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{- \cos (a) + 1}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Schritt 2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- \cos (a) + 1$ und $1 - \cos (a)$ .

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Schritt 2.7.1

Stelle die Terme um.

$\frac{1 - \cos (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Schritt 2.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 - \cos (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Schritt 2.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sin (a)}$

Schritt 3

Schreibe $\frac{1}{\sin (a)}$ als $\csc (a)$ um.

$\csc (a)$

Schritt 4

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)} - \cot (a) = \csc (a)$ ist eine Identitätsgleichung