Elementarmathematik Beispiele

$\frac{\sec (t) + \csc (t)}{1 + \cot (t)} = \sec (t)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\sec (t) + \csc (t)}{1 + \cot (t)}$

Schritt 2

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 2.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (t)$ an.

$\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \csc (t)}{1 + \cot (t)}$

Schritt 2.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (t)$ an.

$\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{1 + \cot (t)}$

Schritt 2.3

Schreibe $\cot (t)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{1 + \frac{\cos (t)}{\sin (t)}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\cos (t) \sin (t)$ .

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{1 + \frac{\cos (t)}{\sin (t)}}$ mit $\frac{\cos (t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)}$ .

$\frac{\cos (t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{1 + \frac{\cos (t)}{\sin (t)}}$

Schritt 3.1.2

Kombinieren.

$\frac{\cos (t) \sin (t) (\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)})}{\cos (t) \sin (t) (1 + \frac{\cos (t)}{\sin (t)})}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (t) \sin (t) \frac{1}{\cos (t)} + \cos (t) \sin (t) \frac{1}{\sin (t)}}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) \sin (t) \frac{\cos (t)}{\sin (t)}}$

Schritt 3.3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (t)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $\cos (t)$ aus $\cos (t) \sin (t)$ heraus.

$\frac{\cos (t) (\sin (t)) \frac{1}{\cos (t)} + \cos (t) \sin (t) \frac{1}{\sin (t)}}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) \sin (t) \frac{\cos (t)}{\sin (t)}}$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (t) \sin (t) \frac{1}{\cos (t)} + \cos (t) \sin (t) \frac{1}{\sin (t)}}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) \sin (t) \frac{\cos (t)}{\sin (t)}}$

Schritt 3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (t) + \cos (t) \sin (t) \frac{1}{\sin (t)}}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) \sin (t) \frac{\cos (t)}{\sin (t)}}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (t)$ .

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (t) + \sin (t) \cos (t) \frac{1}{\sin (t)}}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) \sin (t) \frac{\cos (t)}{\sin (t)}}$

Schritt 3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) \sin (t) \frac{\cos (t)}{\sin (t)}}$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (t)$ .

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Schritt 3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + \sin (t) \cos (t) \frac{\cos (t)}{\sin (t)}}$

Schritt 3.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) \cos (t)}$

Schritt 3.3.4

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + {\cos (t)}^{1} \cos (t)}$

Schritt 3.3.5

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + {\cos (t)}^{1} {\cos (t)}^{1}}$

Schritt 3.3.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + {\cos (t)}^{1 + 1}}$

Schritt 3.3.7

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + {\cos (t)}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $\cos (t)$ aus $\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + {\cos (t)}^{2}$ heraus.

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Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $\cos (t)$ aus $\cos (t) \sin (t) \cdot 1$ heraus.

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) (\sin (t) \cdot 1) + {\cos (t)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.2

Faktorisiere $\cos (t)$ aus ${\cos (t)}^{2}$ heraus.

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) (\sin (t) \cdot 1) + \cos (t) \cos (t)}$

Schritt 3.4.1.3

Faktorisiere $\cos (t)$ aus $\cos (t) (\sin (t) \cdot 1) + \cos (t) \cos (t)$ heraus.

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) (\sin (t) \cdot 1 + \cos (t))}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $\sin (t)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) (\sin (t) + \cos (t))}$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (t) + \cos (t)$ .

$\frac{1}{\cos (t)}$

Schritt 4

Schreibe $\frac{1}{\cos (t)}$ als $\sec (t)$ um.

$\sec (t)$

Schritt 5

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\sec (t) + \csc (t)}{1 + \cot (t)} = \sec (t)$ ist eine Identitätsgleichung