Elementarmathematik Beispiele

$\sin (x + y) \cos (x - y) = \frac{\sin (x)}{\sec (x)} + \frac{\cos (y)}{\csc (y)}$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\sin (x + y) \cos (x - y)$

Schritt 2

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) \cos (x - y)$

Schritt 3

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ an.

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y))$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Da $\cos (- y)$ eine gerade Funktion ist, schreibe $\cos (- y)$ als $\cos (y)$ .

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (- y))$

Schritt 4.1.2

Da $\sin (- y)$ eine ungerade Funktion ist, schreibe $\sin (- y)$ als $- \sin (y)$ .

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (y) - \sin (x) (- \sin (y)))$

Schritt 4.1.3

Multipliziere $- \sin (x) (- \sin (y))$ .

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (y) + 1 \sin (x) \sin (y))$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y))$

Schritt 4.2

Multipliziere $(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y))$

Schritt 4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y)) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y))$

Schritt 4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y)) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Schritt 4.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere $\sin (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y))$ .

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Schritt 4.3.1.1

Potenziere $\cos (y)$ mit $1$ .

$\sin (x) (\cos^{1} (y) \cos (y)) \cos (x) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Schritt 4.3.1.2

Potenziere $\cos (y)$ mit $1$ .

$\sin (x) (\cos^{1} (y) \cos^{1} (y)) \cos (x) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Schritt 4.3.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (x) {\cos (y)}^{1 + 1} \cos (x) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Schritt 4.3.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Schritt 4.3.2

Multipliziere $\sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y))$ .

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Schritt 4.3.2.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Schritt 4.3.2.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Schritt 4.3.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Schritt 4.3.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Schritt 4.3.3

Multipliziere $\cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y))$ .

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Schritt 4.3.3.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{1} (x) \cos (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Schritt 4.3.3.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Schritt 4.3.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + {\cos (x)}^{1 + 1} \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Schritt 4.3.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Schritt 4.3.4

Multipliziere $\cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$ .

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Schritt 4.3.4.1

Potenziere $\sin (y)$ mit $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) (\sin^{1} (y) \sin (y)) \sin (x)$

Schritt 4.3.4.2

Potenziere $\sin (y)$ mit $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) (\sin^{1} (y) \sin^{1} (y)) \sin (x)$

Schritt 4.3.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) {\sin (y)}^{1 + 1} \sin (x)$

Schritt 4.3.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Schritt 5

Faktorisiere.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $\sin (x) \cos (y)$ aus $\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y)$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $\sin (x) \cos (y)$ aus $\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x)$ heraus.

$\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x)) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $\sin (x) \cos (y)$ aus $\sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y)$ heraus.

$\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $\sin (x) \cos (y)$ aus $\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y))$ heraus.

$\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Schritt 5.2

Faktorisiere $\cos (y)$ aus $\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y)$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $\cos (y)$ aus $\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y))$ heraus.

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y))) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $\cos (y)$ aus $\cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y)$ heraus.

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y))) + \cos (y) (\cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $\cos (y)$ aus $\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y))) + \cos (y) (\cos^{2} (x) \sin (y))$ heraus.

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) (\sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Schritt 5.4

Entferne die Klammern.

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin (x) (\sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Schritt 5.5

Multipliziere $\sin (x) (\sin (x) \sin (y))$ .

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Schritt 5.5.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Schritt 5.5.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Schritt 5.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Schritt 5.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Schritt 5.6

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (y)$ heraus.

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Schritt 5.6.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) \cos (y) \cos (x)$ heraus.

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x)) + \sin^{2} (x) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Schritt 5.6.2

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{2} (x) \sin (y)$ heraus.

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) (\sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Schritt 5.6.3

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) (\sin (x) \sin (y))$ heraus.

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Schritt 6

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y)) + (1 - \sin^{2} (x)) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Schritt 7

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) (\sin (x) \sin (y)) + (1 - \sin^{2} (x)) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Schritt 8

Multipliziere $\sin (x) (\sin (x) \sin (y))$ .

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (y) + (1 - \sin^{2} (x)) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Schritt 9

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (y) + 1 \sin (y) - \sin^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Schritt 10

Mutltipliziere $\sin (y)$ mit $1$ .

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (y) + \sin (y) - \sin^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Schritt 11

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x)) + \cos (y) (\sin^{2} (x) \sin (y)) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- \sin^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Multipliziere $\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x))$ .

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Schritt 12.1.1

Potenziere $\cos (y)$ mit $1$ .

${\cos (y)}^{1} \cos (y) (\sin (x) \cos (x)) + \cos (y) ({\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Schritt 12.1.2

Potenziere $\cos (y)$ mit $1$ .

${\cos (y)}^{1} {\cos (y)}^{1} (\sin (x) \cos (x)) + \cos (y) ({\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Schritt 12.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\cos (y)}^{1 + 1} (\sin (x) \cos (x)) + \cos (y) ({\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Schritt 12.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

${\cos (y)}^{2} (\sin (x) \cos (x)) + \cos (y) ({\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

${\cos (y)}^{2} \sin (x) \cos (x) + \cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Schritt 12.2

Addiere $\cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y)$ und $\cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y))$ .

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Schritt 12.2.1

Stelle $\cos (y)$ und $- 1$ um.

${\cos (y)}^{2} \sin (x) \cos (x) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y) - 1 \cdot \cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Schritt 12.2.2

Subtrahiere $\cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y)$ von $\cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y)$ .

${\cos (y)}^{2} \sin (x) \cos (x) + \cos (y) \sin (y) + 0 + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Schritt 12.3

Addiere ${\cos (y)}^{2} \sin (x) \cos (x)$ und $0$ .

$\cos^{2} (y) \sin (x) \cos (x) + \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Schritt 13

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$(1 - \sin^{2} (y)) \sin (x) \cos (x) + \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Schritt 14

Vereinfache jeden Term.

$\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (y) \sin (x) \cos (x) + \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Addiere $- {\sin (y)}^{2} \cos (x) \sin (x)$ und ${\sin (y)}^{2} \cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \sin (x) + \cos (y) \sin (y) + 0$

Schritt 15.2

Addiere $\cos (x) \sin (x)$ und $0$ .

$\cos (x) \sin (x) + \cos (y) \sin (y)$

Schritt 16

Schreibe $\cos (x) \sin (x) + \cos (y) \sin (y)$ als $\frac{\sin (x)}{\sec (x)} + \frac{\cos (y)}{\csc (y)}$ um.

$\frac{\sin (x)}{\sec (x)} + \frac{\cos (y)}{\csc (y)}$

Schritt 17

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\sin (x + y) \cos (x - y) = \frac{\sin (x)}{\sec (x)} + \frac{\cos (y)}{\csc (y)}$ ist eine Identitätsgleichung