Elementarmathematik Beispiele

$\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$

Schritt 1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \cos (\frac{x}{2})$ und $b = \sin (\frac{x}{2})$ .

$(\cos (\frac{x}{2}) + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Wende die Halbwinkelformel $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ für den Kosinus an.

$(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.2

Schreibe $\sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ um.

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.1.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{1}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.6

Wende die Halbwinkelformel für den Sinus an

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{2}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.7

Schreibe $\sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ um.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.8

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.9

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.9.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.9.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.9.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.9.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.9.5

Addiere $1$ und $1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.9.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.1.9.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.9.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.9.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.9.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.9.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.9.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{1}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.9.6.5

Berechne den Exponenten.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.10

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Wende die Halbwinkelformel $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ für den Kosinus an.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}} - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ um.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}} - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.2.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.2.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.2.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.2.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.2.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.2.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.2.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.2.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.2.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.2.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.2.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{1}} - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.2.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.2.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.2.6

Wende die Halbwinkelformel für den Sinus an

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{2}}))$

Schritt 2.2.7

Schreibe $\sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ um.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}))$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))$

Schritt 2.2.9

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.9.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}))$

Schritt 2.2.9.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

Schritt 2.2.9.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

Schritt 2.2.9.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

Schritt 2.2.9.5

Addiere $1$ und $1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}))$

Schritt 2.2.9.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.2.9.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

Schritt 2.2.9.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Schritt 2.2.9.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}))$

Schritt 2.2.9.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.9.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}))$

Schritt 2.2.9.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{1}}))$

Schritt 2.2.9.6.5

Berechne den Exponenten.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2}))$

Schritt 2.2.10

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 3

Multipliziere $(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})) + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) + (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})) + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) + (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})) + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$ .

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Schritt 4.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$ und $(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})$ neu an.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) - (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) + (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.1.2

Addiere $- (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})$ und $(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) + 0 + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.1.3

Addiere $(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})$ und $0$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere $(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})$ .

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ mit $1$ .

${(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{1} (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ mit $1$ .

${(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{1} {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{1} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{1 + 1} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

${(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{2} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.2

Remove the plus-minus sign on $\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ because it is raised to an even power.

${(\frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{2} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ an.

$\frac{{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}^{2}}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.4.1

Schreibe ${\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}^{2}$ als $(1 + \cos (x)) \cdot 2$ um.

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Schritt 4.2.4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}$ als ${((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{({((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.4.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.4.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{{((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.4.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.4.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.4.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{1}}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.4.1.5

Vereinfache.

$\frac{(1 + \cos (x)) \cdot 2}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \cdot 2 + \cos (x) \cdot 2}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 + \cos (x) \cdot 2}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.4.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (x)$ .

$\frac{2 + 2 \cdot \cos (x)}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.4.5

Faktorisiere $2$ aus $2 + 2 \cos (x)$ heraus.

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Schritt 4.2.4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \cos (x)}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.4.5.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1 + 2 \cos (x)$ heraus.

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{4} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{2 \cdot 2} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{2 \cdot 2} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})$

Schritt 4.2.8

Multipliziere $- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})$ .

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Schritt 4.2.8.1

Potenziere $\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - ({(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{1} (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.8.2

Potenziere $\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - ({(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{1} {(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{1})$

Schritt 4.2.8.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - {(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{1 + 1}$

Schritt 4.2.8.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - {(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{2}$

Schritt 4.2.9

Remove the plus-minus sign on $\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ because it is raised to an even power.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - {(\frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{2}$

Schritt 4.2.10

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ an.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 4.2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.11.1

Schreibe ${\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}^{2}$ als $(1 - \cos (x)) \cdot 2$ um.

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Schritt 4.2.11.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}$ als ${((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{{({((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 4.2.11.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{{((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Schritt 4.2.11.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{{((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Schritt 4.2.11.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.11.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{{((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Schritt 4.2.11.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{{((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{1}}{2^{2}}$

Schritt 4.2.11.1.5

Vereinfache.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{(1 - \cos (x)) \cdot 2}{2^{2}}$

Schritt 4.2.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{1 \cdot 2 - \cos (x) \cdot 2}{2^{2}}$

Schritt 4.2.11.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{2 - \cos (x) \cdot 2}{2^{2}}$

Schritt 4.2.11.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{2 - 2 \cos (x)}{2^{2}}$

Schritt 4.2.11.5

Faktorisiere $2$ aus $2 - 2 \cos (x)$ heraus.

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Schritt 4.2.11.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{2 (1) - 2 \cos (x)}{2^{2}}$

Schritt 4.2.11.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \cos (x)$ heraus.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{2 (1) + 2 (- \cos (x))}{2^{2}}$

Schritt 4.2.11.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (- \cos (x))$ heraus.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{2 (1 - \cos (x))}{2^{2}}$

Schritt 4.2.12

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{2 (1 - \cos (x))}{4}$

Schritt 4.2.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.13.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{2 (1 - \cos (x))}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{2 (1 - \cos (x))}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{1 - \cos (x)}{2}$

Schritt 4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + \cos (x) - (1 - \cos (x))}{2}$

Schritt 4.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 + \cos (x) - 1 \cdot 1 - - \cos (x)}{2}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 + \cos (x) - 1 - - \cos (x)}{2}$

Schritt 4.4.3

Multipliziere $- - \cos (x)$ .

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Schritt 4.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1 + \cos (x) - 1 + 1 \cos (x)}{2}$

Schritt 4.4.3.2

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1 + \cos (x) - 1 + \cos (x)}{2}$

Schritt 4.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + \cos (x) - 1 + \cos (x)$ .

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Schritt 4.5.1.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0 + \cos (x) + \cos (x)}{2}$

Schritt 4.5.1.2

Addiere $0$ und $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) + \cos (x)}{2}$

Schritt 4.5.2

Addiere $\cos (x)$ und $\cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2}$

Schritt 4.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos (x)}{2}$

Schritt 4.5.3.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x)$