Elementarmathematik Beispiele

$\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$

Schritt 1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit

$a = \cos (\frac{x}{2})$ und

$b = \sin (\frac{x}{2})$ .

$(\cos (\frac{x}{2}) + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Wende die Halbwinkelformel

$\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ für den Kosinus an.

$(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.2

Schreibe

$\sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ als

$\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ um.

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere

$\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ mit

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.4.1

Mutltipliziere

$\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ mit

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.4.2

Potenziere

$\sqrt{2}$ mit

$1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.4.3

Potenziere

$\sqrt{2}$ mit

$1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.4.4

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.4.5

Addiere

$1$ und

$1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.4.6

Schreibe

${\sqrt{2}}^{2}$ als

$2$ um.

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Schritt 2.1.4.6.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{2}$ als

$2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.4.6.3

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$2$ .

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 2.1.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{1}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.6

Wende die Halbwinkelformel für den Sinus an

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{2}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.7

Schreibe

$\sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{2}}$ als

$\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ um.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.8

Mutltipliziere

$\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ mit

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.9

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.9.1

Mutltipliziere

$\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ mit

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.9.2

Potenziere

$\sqrt{2}$ mit

$1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.9.3

Potenziere

$\sqrt{2}$ mit

$1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.9.4

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.9.5

Addiere

$1$ und

$1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.9.6

Schreibe

${\sqrt{2}}^{2}$ als

$2$ um.

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Schritt 2.1.9.6.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{2}$ als

$2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.9.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.9.6.3

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$2$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.9.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 2.1.9.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.9.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{1}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.9.6.5

Berechne den Exponenten.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.1.10

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Wende die Halbwinkelformel

$\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ für den Kosinus an.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}} - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.2.2

Schreibe

$\sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ als

$\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ um.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}} - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere

$\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ mit

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.2.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.4.1

Mutltipliziere

$\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ mit

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.2.4.2

Potenziere

$\sqrt{2}$ mit

$1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.2.4.3

Potenziere

$\sqrt{2}$ mit

$1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.2.4.4

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.2.4.5

Addiere

$1$ und

$1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.2.4.6

Schreibe

${\sqrt{2}}^{2}$ als

$2$ um.

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Schritt 2.2.4.6.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{2}$ als

$2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.2.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.2.4.6.3

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$2$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.2.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 2.2.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.2.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{1}} - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.2.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.2.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - \sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.2.6

Wende die Halbwinkelformel für den Sinus an

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{2}}))$

Schritt 2.2.7

Schreibe

$\sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{2}}$ als

$\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ um.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}))$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere

$\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ mit

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))$

Schritt 2.2.9

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.9.1

Mutltipliziere

$\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ mit

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}))$

Schritt 2.2.9.2

Potenziere

$\sqrt{2}$ mit

$1$ .

Schritt 2.2.9.3

Potenziere

$\sqrt{2}$ mit

$1$ .

Schritt 2.2.9.4

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

Schritt 2.2.9.5

Addiere

$1$ und

$1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}))$

Schritt 2.2.9.6

Schreibe

${\sqrt{2}}^{2}$ als

$2$ um.

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Schritt 2.2.9.6.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{2}$ als

$2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

Schritt 2.2.9.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Schritt 2.2.9.6.3

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$2$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}))$

Schritt 2.2.9.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 2.2.9.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}))$

Schritt 2.2.9.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{1}}))$

Schritt 2.2.9.6.5

Berechne den Exponenten.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2}))$

Schritt 2.2.10

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 3

Multipliziere

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})) + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) + (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})) + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in

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Schritt 4.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$ und

$(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})$ neu an.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) - (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) + (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.1.2

Addiere

$- (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})$ und

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) + 0 + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.1.3

Addiere

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})$ und

$0$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Potenziere

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ mit

$1$ .

${(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{1} (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ mit

$1$ .

${(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{1} {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{1} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.1.3

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{1 + 1} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.1.4

Addiere

$1$ und

$1$ .

${(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{2} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.2

Remove the plus-minus sign on

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ because it is raised to an even power.

${(\frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{2} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.3

Wende die Produktregel auf

$\frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ an.

$\frac{{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}^{2}}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1

Schreibe

${\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}^{2}$ als

$(1 + \cos (x)) \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}$ als

${((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{({((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.4.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.4.1.3

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$2$ .

$\frac{{((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.4.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 4.2.4.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.4.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{1}}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.4.1.5

Vereinfache.

$\frac{(1 + \cos (x)) \cdot 2}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \cdot 2 + \cos (x) \cdot 2}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.4.3

Mutltipliziere

$2$ mit

$1$ .

$\frac{2 + \cos (x) \cdot 2}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.4.4

Bringe

$2$ auf die linke Seite von

$\cos (x)$ .

$\frac{2 + 2 \cdot \cos (x)}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.4.5

Faktorisiere

$2$ aus

$2 + 2 \cos (x)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.5.1

Faktorisiere

$2$ aus

$2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \cos (x)}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.4.5.2

Faktorisiere

$2$ aus

$2 \cdot 1 + 2 \cos (x)$ heraus.

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.5

Potenziere

$2$ mit

$2$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{4} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.6.1

Faktorisiere

$2$ aus

$4$ heraus.

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{2 \cdot 2} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{2 \cdot 2} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})$

Schritt 4.2.8

Multipliziere

$- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})$ .

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Schritt 4.2.8.1

Potenziere

$\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ mit

$1$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - ({(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{1} (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Schritt 4.2.8.2

Potenziere

$\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ mit

$1$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - ({(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{1} {(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{1})$

Schritt 4.2.8.3

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - {(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{1 + 1}$

Schritt 4.2.8.4

Addiere

$1$ und

$1$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - {(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{2}$

Schritt 4.2.9

Remove the plus-minus sign on

$\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ because it is raised to an even power.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - {(\frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{2}$

Schritt 4.2.10

Wende die Produktregel auf

$\frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ an.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 4.2.11

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.11.1

Schreibe

${\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}^{2}$ als

$(1 - \cos (x)) \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.11.1.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}$ als

${((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{{({((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 4.2.11.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{{((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Schritt 4.2.11.1.3

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$2$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{{((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Schritt 4.2.11.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.11.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{{((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Schritt 4.2.11.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{{((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{1}}{2^{2}}$

Schritt 4.2.11.1.5

Vereinfache.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{(1 - \cos (x)) \cdot 2}{2^{2}}$

Schritt 4.2.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{1 \cdot 2 - \cos (x) \cdot 2}{2^{2}}$

Schritt 4.2.11.3

Mutltipliziere

$2$ mit

$1$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{2 - \cos (x) \cdot 2}{2^{2}}$

Schritt 4.2.11.4

Mutltipliziere

$2$ mit

$- 1$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{2 - 2 \cos (x)}{2^{2}}$

Schritt 4.2.11.5

Faktorisiere

$2$ aus

$2 - 2 \cos (x)$ heraus.

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Schritt 4.2.11.5.1

Faktorisiere

$2$ aus

$2$ heraus.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{2 (1) - 2 \cos (x)}{2^{2}}$

Schritt 4.2.11.5.2

Faktorisiere

$2$ aus

$- 2 \cos (x)$ heraus.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{2 (1) + 2 (- \cos (x))}{2^{2}}$

Schritt 4.2.11.5.3

Faktorisiere

$2$ aus

$2 (1) + 2 (- \cos (x))$ heraus.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{2 (1 - \cos (x))}{2^{2}}$

Schritt 4.2.12

Potenziere

$2$ mit

$2$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{2 (1 - \cos (x))}{4}$

Schritt 4.2.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.13.1

Faktorisiere

$2$ aus

$4$ heraus.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{2 (1 - \cos (x))}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{2 (1 - \cos (x))}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{1 - \cos (x)}{2}$

Schritt 4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + \cos (x) - (1 - \cos (x))}{2}$

Schritt 4.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 + \cos (x) - 1 \cdot 1 - - \cos (x)}{2}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$\frac{1 + \cos (x) - 1 - - \cos (x)}{2}$

Schritt 4.4.3

Multipliziere

$- - \cos (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.3.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$\frac{1 + \cos (x) - 1 + 1 \cos (x)}{2}$

Schritt 4.4.3.2

Mutltipliziere

$\cos (x)$ mit

$1$ .

$\frac{1 + \cos (x) - 1 + \cos (x)}{2}$

Schritt 4.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in

$1 + \cos (x) - 1 + \cos (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1.1

Subtrahiere

$1$ von

$1$ .

$\frac{0 + \cos (x) + \cos (x)}{2}$

Schritt 4.5.1.2

Addiere

$0$ und

$\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) + \cos (x)}{2}$

Schritt 4.5.2

Addiere

$\cos (x)$ und

$\cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2}$

Schritt 4.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos (x)}{2}$

Schritt 4.5.3.2

Dividiere

$\cos (x)$ durch

$1$ .

$\cos (x)$