Elementarmathematik Beispiele

$(\sqrt{3} + \sqrt{15} i) (\sqrt{3} - \sqrt{15} i)$

Schritt 1

Multipliziere $(\sqrt{3} + \sqrt{15} i) (\sqrt{3} - \sqrt{15} i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{3} (\sqrt{3} - \sqrt{15} i) + \sqrt{15} i (\sqrt{3} - \sqrt{15} i)$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{15} i) + \sqrt{15} i (\sqrt{3} - \sqrt{15} i)$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{15} i) + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Schritt 2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} (- \sqrt{15} i) + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\sqrt{9} + \sqrt{3} (- \sqrt{15} i) + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Schritt 2.1.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} (- \sqrt{15} i) + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Schritt 2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$3 + \sqrt{3} (- \sqrt{15} i) + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Schritt 2.1.5

Multipliziere $\sqrt{3} (- \sqrt{15} i)$ .

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Schritt 2.1.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$3 - \sqrt{3 \cdot 15} i + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Schritt 2.1.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $15$ .

$3 - \sqrt{45} i + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Schritt 2.1.6

Schreibe $45$ als $3^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 2.1.6.1

Faktorisiere $9$ aus $45$ heraus.

$3 - \sqrt{9 (5)} i + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Schritt 2.1.6.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$3 - \sqrt{3^{2} \cdot 5} i + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Schritt 2.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$3 - (3 \sqrt{5}) i + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Schritt 2.1.8

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Schritt 2.1.9

Multipliziere $\sqrt{15} i \sqrt{3}$ .

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Schritt 2.1.9.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$3 - 3 \sqrt{5} i + \sqrt{3 \cdot 15} i + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Schritt 2.1.9.2

Mutltipliziere $3$ mit $15$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + \sqrt{45} i + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Schritt 2.1.10

Schreibe $45$ als $3^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 2.1.10.1

Faktorisiere $9$ aus $45$ heraus.

$3 - 3 \sqrt{5} i + \sqrt{9 (5)} i + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Schritt 2.1.10.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$3 - 3 \sqrt{5} i + \sqrt{3^{2} \cdot 5} i + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Schritt 2.1.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Schritt 2.1.12

Multipliziere $\sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$ .

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Schritt 2.1.12.1

Potenziere $\sqrt{15}$ mit $1$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i + i (- ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15}) i)$

Schritt 2.1.12.2

Potenziere $\sqrt{15}$ mit $1$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i + i (- ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1}) i)$

Schritt 2.1.12.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i + i (- {\sqrt{15}}^{1 + 1} i)$

Schritt 2.1.12.4

Addiere $1$ und $1$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i + i (- {\sqrt{15}}^{2} i)$

Schritt 2.1.12.5

Potenziere $i$ mit $1$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - {\sqrt{15}}^{2} (i^{1} i)$

Schritt 2.1.12.6

Potenziere $i$ mit $1$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - {\sqrt{15}}^{2} (i^{1} i^{1})$

Schritt 2.1.12.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - {\sqrt{15}}^{2} i^{1 + 1}$

Schritt 2.1.12.8

Addiere $1$ und $1$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - {\sqrt{15}}^{2} i^{2}$

Schritt 2.1.13

Schreibe ${\sqrt{15}}^{2}$ als $15$ um.

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Schritt 2.1.13.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{15}$ als $15^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - {(15^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}$

Schritt 2.1.13.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - 15^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}$

Schritt 2.1.13.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - 15^{\frac{2}{2}} i^{2}$

Schritt 2.1.13.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.13.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - 15^{\frac{2}{2}} i^{2}$

Schritt 2.1.13.4.2

Forme den Ausdruck um.

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - 15^{1} i^{2}$

Schritt 2.1.13.5

Berechne den Exponenten.

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - 1 \cdot 15 i^{2}$

Schritt 2.1.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $15$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - 15 i^{2}$

Schritt 2.1.15

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - 15 \cdot - 1$

Schritt 2.1.16

Mutltipliziere $- 15$ mit $- 1$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i + 15$

Schritt 2.2

Addiere $3$ und $15$ .

$- 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i + 18$

Schritt 2.3

Addiere $- 3 \sqrt{5} i$ und $3 \sqrt{5} i$ .

$0 + 18$

Schritt 2.4

Addiere $0$ und $18$ .

$18$