Elementarmathematik Beispiele

$\log_{2} (8) + \log_{8} (x + 2) - \log_{4} (x^{4} + 4 x^{2} + 4)$

Schritt 1

Setze das Argument in $\log_{8} (x + 2)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x + 2 > 0$

Schritt 2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x > - 2$

Schritt 3

Setze das Argument in $\log_{4} (x^{4} + 4 x^{2} + 4)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x^{4} + 4 x^{2} + 4 > 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} + 4 u + 4 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 4.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u^{2} + 4 u + 2^{2} = 0$

Schritt 4.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Schritt 4.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Schritt 4.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 2$ .

${(u + 2)}^{2} = 0$

Schritt 4.3

Setze $u + 2$ gleich $0$ .

$u + 2 = 0$

Schritt 4.4

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 2$

Schritt 4.5

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = - 2$

Schritt 4.6

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Schritt 4.6.2

Vereinfache $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Schritt 4.6.2.1

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Schritt 4.6.2.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (2)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Schritt 4.6.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{2}$

Schritt 4.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.6.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{2}$

Schritt 4.6.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{2}$

Schritt 4.6.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Schritt 4.7

Identifiziere den Leitkoeffizienten.

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Schritt 4.7.1

Der Führungsterm in einem Polynom ist der Term mit dem höchsten Grad.

$x^{4}$

Schritt 4.7.2

Der Leitkoeffizient in einem Polynom ist der Koeffizient des Führungsterms.

$1$

Schritt 4.8

Da es keine reellen x-Achsenabschnitte gibt und der Leitkoeffizient positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet und $x^{4} + 4 x^{2} + 4$ ist immer größer als $0$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- 2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > - 2}$

Schritt 6