Elementarmathematik Beispiele

$\frac{2}{x^{3} - 1}$

Schritt 1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 1.1

Faktorisiere den Bruch.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{2}{x^{3} - 1^{3}}$

Schritt 1.1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{2}{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2}{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}$

Schritt 1.1.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

Schritt 1.3

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor von zweiter Ordnung ist, sind $2$ Terme im Zähler erforderlich. Die Anzahl der erforderlichen Terme im Zähler ist immer gleich der Ordnung des Faktors im Nenner.

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.4

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + x + 1$ .

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Schritt 1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.6.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 1.7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 = \frac{A (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.7.1.2

Dividiere $(A) (x^{2} + x + 1)$ durch $1$ .

$2 = (A) (x^{2} + x + 1) + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 = A x^{2} + A x + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.7.3

Mutltipliziere $A$ mit $1$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + x + 1$ .

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Schritt 1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.7.4.2

Dividiere $(B x + C) (x - 1)$ durch $1$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + (B x + C) (x - 1)$

Schritt 1.7.5

Multipliziere $(B x + C) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.7.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 = A x^{2} + A x + A + B x (x - 1) + C (x - 1)$

Schritt 1.7.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C (x - 1)$

Schritt 1.7.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Schritt 1.7.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.6.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.7.6.1.1

Bewege $x$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Schritt 1.7.6.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Schritt 1.7.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $B x$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 1$

Schritt 1.7.6.3

Schreibe $- 1 (B x)$ als $- (B x)$ um.

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - (B x) + C x + C \cdot - 1$

Schritt 1.7.6.4

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $C$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - 1 \cdot C$

Schritt 1.7.6.5

Schreibe $- 1 C$ als $- C$ um.

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

Schritt 1.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.8.1

Stelle $B$ und $x^{2}$ um.

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

Schritt 1.8.2

Bewege $B$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 x B + C x - C$

Schritt 1.8.3

Bewege $A$ .

$2 = A x^{2} + A x + B x^{2} - 1 x B + C x + A - C$

Schritt 1.8.4

Bewege $A x$ .

$2 = A x^{2} + B x^{2} + A x - 1 x B + C x + A - C$

Schritt 2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = A + B$

Schritt 2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = A - 1 B + C$

Schritt 2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$2 = A - 1 C$

Schritt 2.4

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = A + B$

$0 = A - 1 B + C$

$2 = A - 1 C$

$0 = A + B$

$0 = A - 1 B + C$

$2 = A - 1 C$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 3.1

Löse in $0 = A + B$ nach $A$ auf.

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Schritt 3.1.1

Schreibe die Gleichung als $A + B = 0$ um.

$A + B = 0$

$0 = A - 1 B + C$

$2 = A - 1 C$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $B$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A = - B$

$0 = A - 1 B + C$

$2 = A - 1 C$

$A = - B$

$0 = A - 1 B + C$

$2 = A - 1 C$

Schritt 3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $- B$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Ersetze alle $A$ in $0 = A - 1 B + C$ durch $- B$ .

$0 = (- B) - 1 B + C$

$A = - B$

$2 = A - 1 C$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $(- B) - 1 B + C$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Schreibe $- 1 B$ als $- B$ um.

$0 = - B - B + C$

$A = - B$

$2 = A - 1 C$

Schritt 3.2.2.1.2

Subtrahiere $B$ von $- B$ .

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

$2 = A - 1 C$

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

$2 = A - 1 C$

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

$2 = A - 1 C$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $A$ in $2 = A - 1 C$ durch $- B$ .

$2 = (- B) - 1 C$

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

Schritt 3.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.4.1

Schreibe $- 1 C$ als $- C$ um.

$2 = - B - C$

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

$2 = - B - C$

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

$2 = - B - C$

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

Schritt 3.3

Löse in $0 = - 2 B + C$ nach $C$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- 2 B + C = 0$ um.

$- 2 B + C = 0$

$2 = - B - C$

$A = - B$

Schritt 3.3.2

Addiere $2 B$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$C = 2 B$

$2 = - B - C$

$A = - B$

$C = 2 B$

$2 = - B - C$

$A = - B$

Schritt 3.4

Ersetze alle Vorkommen von $C$ durch $2 B$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Ersetze alle $C$ in $2 = - B - C$ durch $2 B$ .

$2 = - B - (2 B)$

$C = 2 B$

$A = - B$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache $- B - (2 B)$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 = - B - 2 B$

$C = 2 B$

$A = - B$

Schritt 3.4.2.1.2

Subtrahiere $2 B$ von $- B$ .

$2 = - 3 B$

$C = 2 B$

$A = - B$

$2 = - 3 B$

$C = 2 B$

$A = - B$

$2 = - 3 B$

$C = 2 B$

$A = - B$

$2 = - 3 B$

$C = 2 B$

$A = - B$

Schritt 3.5

Löse in $2 = - 3 B$ nach $B$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 3 B = 2$ um.

$- 3 B = 2$

$C = 2 B$

$A = - B$

Schritt 3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 B = 2$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 B = 2$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 3.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

Schritt 3.5.2.2.1.2

Dividiere $B$ durch $1$ .

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

Schritt 3.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

Schritt 3.6

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $- \frac{2}{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.6.1

Ersetze alle $B$ in $C = 2 B$ durch $- \frac{2}{3}$ .

$C = 2 (- \frac{2}{3})$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.2.1

Vereinfache $2 (- \frac{2}{3})$ .

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Schritt 3.6.2.1.1

Multipliziere $2 (- \frac{2}{3})$ .

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Schritt 3.6.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$C = - 2 (\frac{2}{3})$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Schritt 3.6.2.1.1.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{3}$ .

$C = \frac{- 2 \cdot 2}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Schritt 3.6.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$C = \frac{- 4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = \frac{- 4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Schritt 3.6.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Schritt 3.6.3

Ersetze alle $B$ in $A = - B$ durch $- \frac{2}{3}$ .

$A = - (- \frac{2}{3})$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

Schritt 3.6.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.4.1

Multipliziere $- (- \frac{2}{3})$ .

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Schritt 3.6.4.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$A = 1 (\frac{2}{3})$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

Schritt 3.6.4.1.2

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

Schritt 3.7

Liste alle Lösungen auf.

$A = \frac{2}{3}, C = - \frac{4}{3}, B = - \frac{2}{3}$

Schritt 4

Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ und $C$ ermittelt wurden.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- \frac{2}{3 x} - \frac{4}{3}}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- \frac{x \cdot 2}{3} - \frac{4}{3}}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3}}{x^{2} + x + 1}$