Elementarmathematik Beispiele

$\frac{4 x^{3} + 5^{2} + 7 x - 1}{x^{2} x + 1}$

Schritt 1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 1.1

Faktorisiere den Bruch.

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Schritt 1.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{4 x^{3} + 25 + 7 x - 1}{x^{2} x + 1}$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $1$ von $25$ .

$\frac{4 x^{3} + 7 x + 24}{x^{2} x + 1}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $4 x^{3} + 7 x + 24$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.1.3.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Schritt 1.1.3.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 24, \pm 6, \pm 12, \pm 2, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 8, \pm 4$

Schritt 1.1.3.3

Setze $- 1.5$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1.5$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.1.3.3.1

Setze $- 1.5$ in das Polynom ein.

$4 {(- 1.5)}^{3} + 7 \cdot - 1.5 + 24$

Schritt 1.1.3.3.2

Potenziere $- 1.5$ mit $3$ .

$4 \cdot - 3.375 + 7 \cdot - 1.5 + 24$

Schritt 1.1.3.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 3.375$ .

$- 13.5 + 7 \cdot - 1.5 + 24$

Schritt 1.1.3.3.4

Mutltipliziere $7$ mit $- 1.5$ .

$- 13.5 - 10.5 + 24$

Schritt 1.1.3.3.5

Subtrahiere $10.5$ von $- 13.5$ .

$- 24 + 24$

Schritt 1.1.3.3.6

Addiere $- 24$ und $24$ .

$0$

Schritt 1.1.3.4

Da $- 1.5$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $2 x + 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{4 x^{3} + 7 x + 24}{2 x + 3}$

Schritt 1.1.3.5

Dividiere $4 x^{3} + 7 x + 24$ durch $2 x + 3$ .

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Schritt 1.1.3.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 x$

$3$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$24$

Schritt 1.1.3.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$

Schritt 1.1.3.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			+	$4 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Schritt 1.1.3.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x^{3} + 6 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Schritt 1.1.3.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Schritt 1.1.3.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$

Schritt 1.1.3.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 6 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$

Schritt 1.1.3.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$9 x$

Schritt 1.1.3.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 6 x^{2} - 9 x$

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$

Schritt 1.1.3.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$16 x$

Schritt 1.1.3.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$16 x$	+	$24$

Schritt 1.1.3.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $16 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$8$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$16 x$	+	$24$

Schritt 1.1.3.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$8$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$16 x$	+	$24$
							+	$16 x$	+	$24$

Schritt 1.1.3.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $16 x + 24$

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$8$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$16 x$	+	$24$
							-	$16 x$	-	$24$

Schritt 1.1.3.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$8$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$16 x$	+	$24$
							-	$16 x$	-	$24$
										$0$

Schritt 1.1.3.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$2 x^{2} - 3 x + 8$

Schritt 1.1.3.6

Schreibe $4 x^{3} + 7 x + 24$ als eine Menge von Faktoren.

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{x^{2} x + 1}$

Schritt 1.1.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.4.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.1.4.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{x^{2} x^{1} + 1}$

Schritt 1.1.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{x^{2 + 1} + 1}$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{x^{3} + 1}$

Schritt 1.1.5

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{x^{3} + 1^{3}}$

Schritt 1.1.6

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 1.1.7

Vereinfache.

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Schritt 1.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})}$

Schritt 1.1.7.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Schritt 1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Schritt 1.3

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor von zweiter Ordnung ist, sind $2$ Terme im Zähler erforderlich. Die Anzahl der erforderlichen Terme im Zähler ist immer gleich der Ordnung des Faktors im Nenner.

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 1.4

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 1.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 1.5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} - x + 1$ .

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Schritt 1.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 1.5.2.2

Dividiere $(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)$ durch $1$ .

$(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8) = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 1.6

Multipliziere $(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 1.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot (2 x \cdot x^{2}) + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 1.7.1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.7.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 \cdot (2 (x^{2} x)) + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 1.7.1.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.7.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 \cdot (2 (x^{2} x)) + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 1.7.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \cdot (2 x^{2 + 1}) + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 1.7.1.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 \cdot (2 x^{3}) + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 1.7.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{3} + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 1.7.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 x^{3} + 2 \cdot (- 3 x \cdot x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 1.7.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.7.1.5.1

Bewege $x$ .

$4 x^{3} + 2 \cdot (- 3 (x \cdot x)) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 1.7.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 x^{3} + 2 \cdot (- 3 x^{2}) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 1.7.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 1.7.1.7

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 16 x + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 1.7.1.8

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 16 x + 6 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 1.7.1.9

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 16 x + 6 x^{2} - 9 x + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 1.7.1.10

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 16 x + 6 x^{2} - 9 x + 24 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 1.7.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.7.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x^{3} - 6 x^{2} + 16 x + 6 x^{2} - 9 x + 24$ .

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Schritt 1.7.2.1.1

Addiere $- 6 x^{2}$ und $6 x^{2}$ .

$4 x^{3} + 16 x + 0 - 9 x + 24 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 1.7.2.1.2

Addiere $4 x^{3} + 16 x$ und $0$ .

$4 x^{3} + 16 x - 9 x + 24 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 1.7.2.2

Subtrahiere $9 x$ von $16 x$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 1.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 1.8.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{3} + 7 x + 24 = \frac{A (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 1.8.1.2

Dividiere $(A) (x^{2} - x + 1)$ durch $1$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = (A) (x^{2} - x + 1) + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 1.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} + A (- x) + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 1.8.3

Vereinfache.

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Schritt 1.8.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 1.8.3.2

Mutltipliziere $A$ mit $1$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 1.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} - x + 1$ .

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Schritt 1.8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 1.8.4.2

Dividiere $(B x + C) (x + 1)$ durch $1$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + (B x + C) (x + 1)$

Schritt 1.8.5

Multipliziere $(B x + C) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.8.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B x (x + 1) + C (x + 1)$

Schritt 1.8.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B x \cdot x + B x \cdot 1 + C (x + 1)$

Schritt 1.8.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B x \cdot x + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Schritt 1.8.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.8.6.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.8.6.1.1

Bewege $x$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B (x \cdot x) + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Schritt 1.8.6.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B x^{2} + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Schritt 1.8.6.2

Mutltipliziere $B$ mit $1$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B x^{2} + B x + C x + C \cdot 1$

Schritt 1.8.6.3

Mutltipliziere $C$ mit $1$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B x^{2} + B x + C x + C$

Schritt 1.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.9.1

Bewege $A$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - x A + A + B x^{2} + B x + C x + C$

Schritt 1.9.2

Stelle $B$ und $x^{2}$ um.

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - x A + A + B x^{2} + B x + C x + C$

Schritt 1.9.3

Stelle $B$ und $x$ um.

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - x A + A + B x^{2} + B x + C x + C$

Schritt 1.9.4

Bewege $A$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - x A + B x^{2} + B x + C x + A + C$

Schritt 1.9.5

Bewege $- x A$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} + B x^{2} - x A + B x + C x + A + C$

Schritt 2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = A + B$

Schritt 2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$7 = - 1 A + B + C$

Schritt 2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$24 = A + C$

Schritt 2.4

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = A + B$

$7 = - 1 A + B + C$

$24 = A + C$

$0 = A + B$

$7 = - 1 A + B + C$

$24 = A + C$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 3.1

Löse in $0 = A + B$ nach $A$ auf.

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Schritt 3.1.1

Schreibe die Gleichung als $A + B = 0$ um.

$A + B = 0$

$7 = - 1 A + B + C$

$24 = A + C$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $B$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A = - B$

$7 = - 1 A + B + C$

$24 = A + C$

$A = - B$

$7 = - 1 A + B + C$

$24 = A + C$

Schritt 3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $- B$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Ersetze alle $A$ in $7 = - 1 A + B + C$ durch $- B$ .

$7 = - 1 (- B) + B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $- 1 (- B) + B + C$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Multipliziere $- 1 (- B)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$7 = 1 B + B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $B$ mit $1$ .

$7 = B + B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

$7 = B + B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

Schritt 3.2.2.1.2

Addiere $B$ und $B$ .

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $A$ in $24 = A + C$ durch $- B$ .

$24 = (- B) + C$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

Schritt 3.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.4.1

Entferne die Klammern.

$24 = - B + C$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

$24 = - B + C$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

$24 = - B + C$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

Schritt 3.3

Löse in $24 = - B + C$ nach $C$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- B + C = 24$ um.

$- B + C = 24$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

Schritt 3.3.2

Addiere $B$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$C = 24 + B$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

$C = 24 + B$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

Schritt 3.4

Ersetze alle Vorkommen von $C$ durch $24 + B$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Ersetze alle $C$ in $7 = 2 B + C$ durch $24 + B$ .

$7 = 2 B + 24 + B$

$C = 24 + B$

$A = - B$

Schritt 3.4.2

Vereinfache $7 = 2 B + 24 + B$ .

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1.1

Entferne die Klammern.

$7 = 2 B + 24 + B$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$7 = 2 B + 24 + B$

$C = 24 + B$

$A = - B$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Addiere $2 B$ und $B$ .

$7 = 3 B + 24$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$7 = 3 B + 24$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$7 = 3 B + 24$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$7 = 3 B + 24$

$C = 24 + B$

$A = - B$

Schritt 3.5

Löse in $7 = 3 B + 24$ nach $B$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $3 B + 24 = 7$ um.

$3 B + 24 = 7$

$C = 24 + B$

$A = - B$

Schritt 3.5.2

Bringe alle Terme, die nicht $B$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.2.1

Subtrahiere $24$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 B = 7 - 24$

$C = 24 + B$

$A = - B$

Schritt 3.5.2.2

Subtrahiere $24$ von $7$ .

$3 B = - 17$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$3 B = - 17$

$C = 24 + B$

$A = - B$

Schritt 3.5.3

Teile jeden Ausdruck in $3 B = - 17$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 B = - 17$ durch $3$ .

$\frac{3 B}{3} = \frac{- 17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

Schritt 3.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 B}{3} = \frac{- 17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

Schritt 3.5.3.2.1.2

Dividiere $B$ durch $1$ .

$B = \frac{- 17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$B = \frac{- 17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$B = \frac{- 17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

Schritt 3.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$B = - \frac{17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$B = - \frac{17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$B = - \frac{17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$B = - \frac{17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

Schritt 3.6

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $- \frac{17}{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.6.1

Ersetze alle $B$ in $C = 24 + B$ durch $- \frac{17}{3}$ .

$C = 24 - \frac{17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

Schritt 3.6.2

Vereinfache $C = 24 - \frac{17}{3}$ .

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Schritt 3.6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.1.1

Entferne die Klammern.

$C = 24 - \frac{17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

$C = 24 - \frac{17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

Schritt 3.6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.2.2.1

Vereinfache $24 - \frac{17}{3}$ .

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Schritt 3.6.2.2.1.1

Um $24$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$C = 24 \cdot \frac{3}{3} - \frac{17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

Schritt 3.6.2.2.1.2

Kombiniere $24$ und $\frac{3}{3}$ .

$C = \frac{24 \cdot 3}{3} - \frac{17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

Schritt 3.6.2.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$C = \frac{24 \cdot 3 - 17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

Schritt 3.6.2.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.2.2.1.4.1

Mutltipliziere $24$ mit $3$ .

$C = \frac{72 - 17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

Schritt 3.6.2.2.1.4.2

Subtrahiere $17$ von $72$ .

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

Schritt 3.6.3

Ersetze alle $B$ in $A = - B$ durch $- \frac{17}{3}$ .

$A = - (- \frac{17}{3})$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

Schritt 3.6.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.4.1

Multipliziere $- (- \frac{17}{3})$ .

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Schritt 3.6.4.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$A = 1 (\frac{17}{3})$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

Schritt 3.6.4.1.2

Mutltipliziere $\frac{17}{3}$ mit $1$ .

$A = \frac{17}{3}$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = \frac{17}{3}$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = \frac{17}{3}$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = \frac{17}{3}$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

Schritt 3.7

Liste alle Lösungen auf.

$A = \frac{17}{3}, C = \frac{55}{3}, B = - \frac{17}{3}$

Schritt 4

Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} - x + 1}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ und $C$ ermittelt wurden.

$\frac{\frac{17}{3}}{x + 1} + \frac{- \frac{17}{3 x} + \frac{55}{3}}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1

Kombiniere $x$ und $\frac{17}{3}$ .

$\frac{\frac{17}{3}}{x + 1} + \frac{- \frac{x \cdot 17}{3} + \frac{55}{3}}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 5.2

Bringe $17$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{\frac{17}{3}}{x + 1} + \frac{- \frac{17 x}{3} + \frac{55}{3}}{x^{2} - x + 1}$