Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{81 - 4 x^{2}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{81 - 4 x^{2}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$81 - 4 x^{2} \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $81$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 4 x^{2} \geq - 81$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x^{2} \geq - 81$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Term in $- 4 x^{2} \geq - 81$ durch $- 4$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} \leq \frac{- 81}{- 4}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} \leq \frac{- 81}{- 4}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 81}{- 4}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x^{2} \leq \frac{81}{4}$

Schritt 2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{\frac{81}{4}}$

Schritt 2.4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq \sqrt{\frac{81}{4}}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache $\sqrt{\frac{81}{4}}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Schreibe $\sqrt{\frac{81}{4}}$ als $\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{4}}$ um.

$| x | \leq \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{4}}$

Schritt 2.4.2.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.2.1.2.1

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$| x | \leq \frac{\sqrt{9^{2}}}{\sqrt{4}}$

Schritt 2.4.2.1.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq \frac{| 9 |}{\sqrt{4}}$

Schritt 2.4.2.1.2.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $9$ ist $9$ .

$| x | \leq \frac{9}{\sqrt{4}}$

Schritt 2.4.2.1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.4.2.1.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$| x | \leq \frac{9}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 2.4.2.1.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq \frac{9}{| 2 |}$

Schritt 2.4.2.1.3.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$| x | \leq \frac{9}{2}$

Schritt 2.5

Schreibe $| x | \leq \frac{9}{2}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 2.5.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 2.5.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \leq \frac{9}{2}$

Schritt 2.5.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 2.5.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \leq \frac{9}{2}$

Schritt 2.5.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \leq \frac{9}{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \frac{9}{2} & x < 0 \end{cases}$

Schritt 2.6

Bestimme die Schnittmenge von $x \leq \frac{9}{2}$ und $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \frac{9}{2}$

Schritt 2.7

Löse $- x \leq \frac{9}{2}$ , wenn $x < 0$ ergibt.

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Schritt 2.7.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \leq \frac{9}{2}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.7.1.1

Teile jeden Term in $- x \leq \frac{9}{2}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\frac{9}{2}}{- 1}$

Schritt 2.7.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.7.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\frac{9}{2}}{- 1}$

Schritt 2.7.1.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{\frac{9}{2}}{- 1}$

Schritt 2.7.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.7.1.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{9}{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \frac{9}{2}$

Schritt 2.7.1.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \frac{9}{2}$ als $- \frac{9}{2}$ um.

$x \geq - \frac{9}{2}$

Schritt 2.7.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq - \frac{9}{2}$ und $x < 0$ .

$- \frac{9}{2} \leq x < 0$

Schritt 2.8

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- \frac{9}{2} \leq x \leq \frac{9}{2}$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- \frac{9}{2}, \frac{9}{2}]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - \frac{9}{2} \leq x \leq \frac{9}{2}}$

Schritt 4