Elementarmathematik Beispiele

$| x - 6 | + 3 x < 12$

Schritt 1

Schreibe $| x - 6 | + 3 x < 12$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x - 6 \geq 0$

Schritt 1.2

Addiere $6$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq 6$

Schritt 1.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x - 6$ nicht negativ ist.

$x - 6 + 3 x < 12$

Schritt 1.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x - 6 < 0$

Schritt 1.5

Addiere $6$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x < 6$

Schritt 1.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x - 6$ negativ ist.

$- (x - 6) + 3 x < 12$

Schritt 1.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x - 6 + 3 x < 12 & x \geq 6 \\ - (x - 6) + 3 x < 12 & x < 6 \end{cases}$

Schritt 1.8

Addiere $x$ und $3 x$ .

${\begin{cases} 4 x - 6 < 12 & x \geq 6 \\ - (x - 6) + 3 x < 12 & x < 6 \end{cases}$

Schritt 1.9

Vereinfache $- (x - 6) + 3 x < 12$ .

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Schritt 1.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.9.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} 4 x - 6 < 12 & x \geq 6 \\ - x - - 6 + 3 x < 12 & x < 6 \end{cases}$

Schritt 1.9.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

${\begin{cases} 4 x - 6 < 12 & x \geq 6 \\ - x + 6 + 3 x < 12 & x < 6 \end{cases}$

Schritt 1.9.2

Addiere $- x$ und $3 x$ .

${\begin{cases} 4 x - 6 < 12 & x \geq 6 \\ 2 x + 6 < 12 & x < 6 \end{cases}$

Schritt 2

Löse $4 x - 6 < 12$ , wenn $x \geq 6$ ergibt.

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Schritt 2.1

Löse $4 x - 6 < 12$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1.1.1

Addiere $6$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$4 x < 12 + 6$

Schritt 2.1.1.2

Addiere $12$ und $6$ .

$4 x < 18$

Schritt 2.1.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x < 18$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x < 18$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} < \frac{18}{4}$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} < \frac{18}{4}$

Schritt 2.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{18}{4}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $4$ .

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Schritt 2.1.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$x < \frac{2 (9)}{4}$

Schritt 2.1.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x < \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.1.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x < \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.1.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x < \frac{9}{2}$

Schritt 2.2

Bestimme die Schnittmenge von $x < \frac{9}{2}$ und $x \geq 6$ .

Keine Lösung

Schritt 3

Löse $2 x + 6 < 12$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$2 x < 12 - 6$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $6$ von $12$ .

$2 x < 6$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x < 6$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x < 6$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} < \frac{6}{2}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} < \frac{6}{2}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{6}{2}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Dividiere $6$ durch $2$ .

$x < 3$

Schritt 4

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x < 3$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < 3$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 3)$

Schritt 6