Elementarmathematik Beispiele

$2 x^{2} + 17 x + 21 \leq 0$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$2 x^{2} + 17 x + 21 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 21 = 42$ und deren Summe gleich $b = 17$ ist.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $17$ aus $17 x$ heraus.

$2 x^{2} + 17 (x) + 21 = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe $17$ um als $3$ plus $14$

$2 x^{2} + (3 + 14) x + 21 = 0$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 3 x + 14 x + 21 = 0$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x^{2} + 3 x) + 14 x + 21 = 0$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (2 x + 3) + 7 (2 x + 3) = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 3$ .

$(2 x + 3) (x + 7) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x + 3 = 0$

$x + 7 = 0$

Schritt 4

Setze $2 x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $2 x + 3$ gleich $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Schritt 4.2

Löse $2 x + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 3$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3}{2}$

Schritt 5

Setze $x + 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x + 7$ gleich $0$ .

$x + 7 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 7$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x + 3) (x + 7) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{3}{2}, - 7$

Schritt 7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 7$

$- 7 < x < - \frac{3}{2}$

$x > - \frac{3}{2}$

Schritt 8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 10$

Schritt 8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(- 10)}^{2} + 17 (- 10) + 21 \leq 0$

Schritt 8.1.3

Die linke Seite $51$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 8.2

Teste einen Wert im Intervall $- 7 < x < - \frac{3}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 7 < x < - \frac{3}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 8.2.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(- 4)}^{2} + 17 (- 4) + 21 \leq 0$

Schritt 8.2.3

Die linke Seite $- 15$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > - \frac{3}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > - \frac{3}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 8.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(0)}^{2} + 17 (0) + 21 \leq 0$

Schritt 8.3.3

Die linke Seite $21$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 7$ Falsch

$- 7 < x < - \frac{3}{2}$ Wahr

$x > - \frac{3}{2}$ Falsch

$x < - 7$ Falsch

$- 7 < x < - \frac{3}{2}$ Wahr

$x > - \frac{3}{2}$ Falsch

Schritt 9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 7 \leq x \leq - \frac{3}{2}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- 7 \leq x \leq - \frac{3}{2}$

Intervallschreibweise:

$[- 7, - \frac{3}{2}]$

Schritt 11