Elementarmathematik Beispiele

${(\frac{4}{3})}^{1 - x} = 5^{x}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln ({(\frac{4}{3})}^{1 - x}) = \ln (5^{x})$

Schritt 2

Zerlege $\ln ({(\frac{4}{3})}^{1 - x})$ durch Herausziehen von $1 - x$ aus dem Logarithmus.

$(1 - x) \ln (\frac{4}{3}) = \ln (5^{x})$

Schritt 3

Schreibe $\ln (\frac{4}{3})$ als $\ln (4) - \ln (3)$ um.

$(1 - x) (\ln (4) - \ln (3)) = \ln (5^{x})$

Schritt 4

Zerlege $\ln (5^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$(1 - x) (\ln (4) - \ln (3)) = x \ln (5)$

Schritt 5

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache $(1 - x) (\ln (4) - \ln (3))$ .

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Schritt 5.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (1 - x) (\ln (4) - \ln (3)) = x \ln (5)$

Schritt 5.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(1 - x) (\ln (4) - \ln (3)) = x \ln (5)$

Schritt 5.1.3

Multipliziere $(1 - x) (\ln (4) - \ln (3))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 (\ln (4) - \ln (3)) - x (\ln (4) - \ln (3)) = x \ln (5)$

Schritt 5.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \ln (4) + 1 (- \ln (3)) - x (\ln (4) - \ln (3)) = x \ln (5)$

Schritt 5.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \ln (4) + 1 (- \ln (3)) - x \ln (4) - x (- \ln (3)) = x \ln (5)$

Schritt 5.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.4.1

Mutltipliziere $\ln (4)$ mit $1$ .

$\ln (4) + 1 (- \ln (3)) - x \ln (4) - x (- \ln (3)) = x \ln (5)$

Schritt 5.1.4.2

Mutltipliziere $- \ln (3)$ mit $1$ .

$\ln (4) - \ln (3) - x \ln (4) - x (- \ln (3)) = x \ln (5)$

Schritt 5.1.4.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\ln (4) - \ln (3) - x \ln (4) - 1 \cdot - 1 x \ln (3) = x \ln (5)$

Schritt 5.1.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\ln (4) - \ln (3) - x \ln (4) + 1 x \ln (3) = x \ln (5)$

Schritt 5.1.4.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\ln (4) - \ln (3) - x \ln (4) + x \ln (3) = x \ln (5)$

Schritt 5.2

Subtrahiere $x \ln (5)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\ln (4) - \ln (3) - x \ln (4) + x \ln (3) - x \ln (5) = 0$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $\ln (4)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \ln (3) - x \ln (4) + x \ln (3) - x \ln (5) = - \ln (4)$

Schritt 5.3.2

Addiere $\ln (3)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x \ln (4) + x \ln (3) - x \ln (5) = - \ln (4) + \ln (3)$

Schritt 5.4

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (4) + x \ln (3) - x \ln (5)$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (4)$ heraus.

$x (- 1 \ln (4)) + x \ln (3) - x \ln (5) = - \ln (4) + \ln (3)$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (3)$ heraus.

$x (- 1 \ln (4)) + x (\ln (3)) - x \ln (5) = - \ln (4) + \ln (3)$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (5)$ heraus.

$x (- 1 \ln (4)) + x (\ln (3)) + x (- 1 \ln (5)) = - \ln (4) + \ln (3)$

Schritt 5.4.4

Faktorisiere $x$ aus $x (- 1 \ln (4)) + x (\ln (3))$ heraus.

$x (- 1 \ln (4) + \ln (3)) + x (- 1 \ln (5)) = - \ln (4) + \ln (3)$

Schritt 5.4.5

Faktorisiere $x$ aus $x (- 1 \ln (4) + \ln (3)) + x (- 1 \ln (5))$ heraus.

$x (- 1 \ln (4) + \ln (3) - 1 \ln (5)) = - \ln (4) + \ln (3)$

Schritt 5.5

Schreibe $- 1 \ln (4)$ als $- \ln (4)$ um.

$x (- \ln (4) + \ln (3) - 1 \ln (5)) = - \ln (4) + \ln (3)$

Schritt 5.6

Schreibe $- 1 \ln (5)$ als $- \ln (5)$ um.

$x (- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)) = - \ln (4) + \ln (3)$

Schritt 5.7

Teile jeden Ausdruck in $x (- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)) = - \ln (4) + \ln (3)$ durch $- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)$ und vereinfache.

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Schritt 5.7.1

Teile jeden Ausdruck in $x (- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)) = - \ln (4) + \ln (3)$ durch $- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)$ .

$\frac{x (- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5))}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)} = \frac{- \ln (4)}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)} + \frac{\ln (3)}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

Schritt 5.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)$ .

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Schritt 5.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5))}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)} = \frac{- \ln (4)}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)} + \frac{\ln (3)}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

Schritt 5.7.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \ln (4)}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)} + \frac{\ln (3)}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

Schritt 5.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.7.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- \ln (4) + \ln (3)}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

Schritt 5.7.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (4)$ heraus.

$x = \frac{- \ln (4) + \ln (3)}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

Schritt 5.7.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $\ln (3)$ heraus.

$x = \frac{- \ln (4) - 1 (- \ln (3))}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

Schritt 5.7.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (4) - 1 (- \ln (3))$ heraus.

$x = \frac{- (\ln (4) - \ln (3))}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

Schritt 5.7.3.5

Schreibe $- (\ln (4) - \ln (3))$ als $- 1 (\ln (4) - \ln (3))$ um.

$x = \frac{- 1 (\ln (4) - \ln (3))}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

Schritt 5.7.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (4)$ heraus.

$x = \frac{- 1 (\ln (4) - \ln (3))}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

Schritt 5.7.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $\ln (3)$ heraus.

$x = \frac{- 1 (\ln (4) - \ln (3))}{- \ln (4) - 1 (- \ln (3)) - \ln (5)}$

Schritt 5.7.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (4) - 1 (- \ln (3))$ heraus.

$x = \frac{- 1 (\ln (4) - \ln (3))}{- (\ln (4) - \ln (3)) - \ln (5)}$

Schritt 5.7.3.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (5)$ heraus.

$x = \frac{- 1 (\ln (4) - \ln (3))}{- (\ln (4) - \ln (3)) - \ln (5)}$

Schritt 5.7.3.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\ln (4) - \ln (3)) - \ln (5)$ heraus.

$x = \frac{- 1 (\ln (4) - \ln (3))}{- (\ln (4) - \ln (3) + \ln (5))}$

Schritt 5.7.3.11

Schreibe $- (\ln (4) - \ln (3) + \ln (5))$ als $- 1 (\ln (4) - \ln (3) + \ln (5))$ um.

$x = \frac{- 1 (\ln (4) - \ln (3))}{- 1 (\ln (4) - \ln (3) + \ln (5))}$

Schritt 5.7.3.12

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 1 (\ln (4) - \ln (3))}{- 1 (\ln (4) - \ln (3) + \ln (5))}$

Schritt 5.7.3.13

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{\ln (4) - \ln (3)}{\ln (4) - \ln (3) + \ln (5)}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\ln (4) - \ln (3)}{\ln (4) - \ln (3) + \ln (5)}$

Dezimalform:

$x = 0.15164147 \dots$