Elementarmathematik Beispiele

$\frac{1}{2 b + 1} + \frac{1}{b + 1} > \frac{8}{15}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{8}{15}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{1}{2 b + 1} + \frac{1}{b + 1} - \frac{8}{15} > 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{1}{2 b + 1} + \frac{1}{b + 1} - \frac{8}{15}$ .

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Schritt 2.1

Um $\frac{1}{2 b + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{b + 1}{b + 1}$ .

$\frac{1}{2 b + 1} \cdot \frac{b + 1}{b + 1} + \frac{1}{b + 1} - \frac{8}{15} > 0$

Schritt 2.2

Um $\frac{1}{b + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 b + 1}{2 b + 1}$ .

$\frac{1}{2 b + 1} \cdot \frac{b + 1}{b + 1} + \frac{1}{b + 1} \cdot \frac{2 b + 1}{2 b + 1} - \frac{8}{15} > 0$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(2 b + 1) (b + 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 b + 1}$ mit $\frac{b + 1}{b + 1}$ .

$\frac{b + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} + \frac{1}{b + 1} \cdot \frac{2 b + 1}{2 b + 1} - \frac{8}{15} > 0$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{b + 1}$ mit $\frac{2 b + 1}{2 b + 1}$ .

$\frac{b + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} + \frac{2 b + 1}{(b + 1) (2 b + 1)} - \frac{8}{15} > 0$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(b + 1) (2 b + 1)$ um.

$\frac{b + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} + \frac{2 b + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8}{15} > 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{b + 1 + 2 b + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8}{15} > 0$

Schritt 2.5

Addiere $b$ und $2 b$ .

$\frac{3 b + 1 + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8}{15} > 0$

Schritt 2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 b + 2}{(2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8}{15} > 0$

Schritt 2.7

Um $\frac{3 b + 2}{(2 b + 1) (b + 1)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{15}{15}$ .

$\frac{3 b + 2}{(2 b + 1) (b + 1)} \cdot \frac{15}{15} - \frac{8}{15} > 0$

Schritt 2.8

Um $- \frac{8}{15}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(2 b + 1) (b + 1)}{(2 b + 1) (b + 1)}$ .

$\frac{3 b + 2}{(2 b + 1) (b + 1)} \cdot \frac{15}{15} - \frac{8}{15} \cdot \frac{(2 b + 1) (b + 1)}{(2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Schritt 2.9

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(2 b + 1) (b + 1) \cdot 15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.9.1

Mutltipliziere $\frac{3 b + 2}{(2 b + 1) (b + 1)}$ mit $\frac{15}{15}$ .

$\frac{(3 b + 2) \cdot 15}{(2 b + 1) (b + 1) \cdot 15} - \frac{8}{15} \cdot \frac{(2 b + 1) (b + 1)}{(2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Schritt 2.9.2

Mutltipliziere $\frac{8}{15}$ mit $\frac{(2 b + 1) (b + 1)}{(2 b + 1) (b + 1)}$ .

$\frac{(3 b + 2) \cdot 15}{(2 b + 1) (b + 1) \cdot 15} - \frac{8 ((2 b + 1) (b + 1))}{15 ((2 b + 1) (b + 1))} > 0$

Schritt 2.9.3

Stelle die Faktoren von $(2 b + 1) (b + 1) \cdot 15$ um.

$\frac{(3 b + 2) \cdot 15}{15 (2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8 ((2 b + 1) (b + 1))}{15 ((2 b + 1) (b + 1))} > 0$

Schritt 2.9.4

Stelle die Faktoren von $15 ((2 b + 1) (b + 1))$ um.

$\frac{(3 b + 2) \cdot 15}{15 (2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8 ((2 b + 1) (b + 1))}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Schritt 2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(3 b + 2) \cdot 15 - 8 ((2 b + 1) (b + 1))}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Schritt 2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 b \cdot 15 + 2 \cdot 15 - 8 (2 b + 1) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $15$ mit $3$ .

$\frac{45 b + 2 \cdot 15 - 8 (2 b + 1) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Schritt 2.11.3

Mutltipliziere $2$ mit $15$ .

$\frac{45 b + 30 - 8 (2 b + 1) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Schritt 2.11.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{45 b + 30 + (- 8 (2 b) - 8 \cdot 1) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Schritt 2.11.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$\frac{45 b + 30 + (- 16 b - 8 \cdot 1) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Schritt 2.11.6

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$\frac{45 b + 30 + (- 16 b - 8) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Schritt 2.11.7

Multipliziere $(- 16 b - 8) (b + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.11.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{45 b + 30 - 16 b (b + 1) - 8 (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Schritt 2.11.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{45 b + 30 - 16 b \cdot b - 16 b \cdot 1 - 8 (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Schritt 2.11.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{45 b + 30 - 16 b \cdot b - 16 b \cdot 1 - 8 b - 8 \cdot 1}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Schritt 2.11.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.11.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.8.1.1

Multipliziere $b$ mit $b$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.11.8.1.1.1

Bewege $b$ .

$\frac{45 b + 30 - 16 (b \cdot b) - 16 b \cdot 1 - 8 b - 8 \cdot 1}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Schritt 2.11.8.1.1.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$\frac{45 b + 30 - 16 b^{2} - 16 b \cdot 1 - 8 b - 8 \cdot 1}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Schritt 2.11.8.1.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $1$ .

$\frac{45 b + 30 - 16 b^{2} - 16 b - 8 b - 8 \cdot 1}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Schritt 2.11.8.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$\frac{45 b + 30 - 16 b^{2} - 16 b - 8 b - 8}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Schritt 2.11.8.2

Subtrahiere $8 b$ von $- 16 b$ .

$\frac{45 b + 30 - 16 b^{2} - 24 b - 8}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Schritt 2.11.9

Subtrahiere $24 b$ von $45 b$ .

$\frac{21 b + 30 - 16 b^{2} - 8}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Schritt 2.11.10

Subtrahiere $8$ von $30$ .

$\frac{21 b - 16 b^{2} + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Schritt 2.11.11

Stelle die Terme um.

$\frac{- 16 b^{2} + 21 b + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Schritt 2.11.12

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.11.12.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 16 \cdot 22 = - 352$ und deren Summe gleich $b = 21$ ist.

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Schritt 2.11.12.1.1

Faktorisiere $21$ aus $21 b$ heraus.

$\frac{- 16 b^{2} + 21 (b) + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Schritt 2.11.12.1.2

Schreibe $21$ um als $- 11$ plus $32$

$\frac{- 16 b^{2} + (- 11 + 32) b + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Schritt 2.11.12.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 16 b^{2} - 11 b + 32 b + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Schritt 2.11.12.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.11.12.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- 16 b^{2} - 11 b) + 32 b + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Schritt 2.11.12.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{b (- 16 b - 11) - 2 (- 16 b - 11)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Schritt 2.11.12.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 16 b - 11$ .

$\frac{(- 16 b - 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Schritt 2.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- 16 b$ heraus.

$\frac{(- (16 b) - 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Schritt 2.13

Schreibe $- 11$ als $- 1 (11)$ um.

$\frac{(- (16 b) - 1 (11)) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Schritt 2.14

Faktorisiere $- 1$ aus $- (16 b) - 1 (11)$ heraus.

$\frac{- (16 b + 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Schritt 2.15

Schreibe $- (16 b + 11)$ als $- 1 (16 b + 11)$ um.

$\frac{- 1 (16 b + 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Schritt 2.16

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(16 b + 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$16 b + 11 = 0$

$b - 2 = 0$

$2 b + 1 = 0$

$b + 1 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $11$ von beiden Seiten der Gleichung.

$16 b = - 11$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $16 b = - 11$ durch $16$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $16 b = - 11$ durch $16$ .

$\frac{16 b}{16} = \frac{- 11}{16}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 b}{16} = \frac{- 11}{16}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $b$ durch $1$ .

$b = \frac{- 11}{16}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$b = - \frac{11}{16}$

Schritt 6

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$b = 2$

Schritt 7

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 b = - 1$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $2 b = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $2 b = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 b}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 b}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $b$ durch $1$ .

$b = \frac{- 1}{2}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$b = - \frac{1}{2}$

Schritt 9

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$b = - 1$

Schritt 10

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$b = - \frac{11}{16}$

$b = 2$

$b = - \frac{1}{2}$

$b = - 1$

Schritt 11

Fasse die Lösungen zusammen.

$b = - \frac{11}{16}, 2, - \frac{1}{2}, - 1$

Schritt 12

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{(16 b + 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)}$ .

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Schritt 12.1

Setze den Nenner in $\frac{(16 b + 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$15 (2 b + 1) (b + 1) = 0$

Schritt 12.2

Löse nach $b$ auf.

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Schritt 12.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 b + 1 = 0$

$b + 1 = 0$

Schritt 12.2.2

Setze $2 b + 1$ gleich $0$ und löse nach $b$ auf.

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Schritt 12.2.2.1

Setze $2 b + 1$ gleich $0$ .

$2 b + 1 = 0$

Schritt 12.2.2.2

Löse $2 b + 1 = 0$ nach $b$ auf.

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Schritt 12.2.2.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 b = - 1$

Schritt 12.2.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 b = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 12.2.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 b = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 b}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 12.2.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 12.2.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.2.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 b}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 12.2.2.2.2.2.1.2

Dividiere $b$ durch $1$ .

$b = \frac{- 1}{2}$

Schritt 12.2.2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.2.2.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$b = - \frac{1}{2}$

Schritt 12.2.3

Setze $b + 1$ gleich $0$ und löse nach $b$ auf.

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Schritt 12.2.3.1

Setze $b + 1$ gleich $0$ .

$b + 1 = 0$

Schritt 12.2.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$b = - 1$

Schritt 12.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $15 (2 b + 1) (b + 1) = 0$ wahr machen.

$b = - \frac{1}{2}, - 1$

Schritt 12.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $b$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

Schritt 13

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$b < - 1$

$- 1 < b < - \frac{11}{16}$

$- \frac{11}{16} < b < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < b < 2$

$b > 2$

Schritt 14

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 14.1

Teste einen Wert im Intervall $b < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 14.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $b < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$b = - 4$

Schritt 14.1.2

Ersetze $b$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{2 (- 4) + 1} + \frac{1}{(- 4) + 1} > \frac{8}{15}$

Schritt 14.1.3

Die linke Seite $- 0.\overline{476190}$ ist nicht größer als die rechte Seite $0.5\overline{3}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 14.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < b < - \frac{11}{16}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 14.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < b < - \frac{11}{16}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$b = - 0.84$

Schritt 14.2.2

Ersetze $b$ durch $- 0.84$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{2 (- 0.84) + 1} + \frac{1}{(- 0.84) + 1} > \frac{8}{15}$

Schritt 14.2.3

Die linke Seite $4.77941176$ ist größer als die rechte Seite $0.5\overline{3}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 14.3

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{11}{16} < b < - \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 14.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{11}{16} < b < - \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$b = - 0.59$

Schritt 14.3.2

Ersetze $b$ durch $- 0.59$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{2 (- 0.59) + 1} + \frac{1}{(- 0.59) + 1} > \frac{8}{15}$

Schritt 14.3.3

Die linke Seite $- 3.\overline{11653}$ ist nicht größer als die rechte Seite $0.5\overline{3}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 14.4

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{1}{2} < b < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 14.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{1}{2} < b < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$b = 0$

Schritt 14.4.2

Ersetze $b$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{2 (0) + 1} + \frac{1}{(0) + 1} > \frac{8}{15}$

Schritt 14.4.3

Die linke Seite $2$ ist größer als die rechte Seite $0.5\overline{3}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 14.5

Teste einen Wert im Intervall $b > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 14.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $b > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$b = 4$

Schritt 14.5.2

Ersetze $b$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{2 (4) + 1} + \frac{1}{(4) + 1} > \frac{8}{15}$

Schritt 14.5.3

Die linke Seite $0.3\overline{1}$ ist nicht größer als die rechte Seite $0.5\overline{3}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 14.6

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$b < - 1$ Falsch

$- 1 < b < - \frac{11}{16}$ Wahr

$- \frac{11}{16} < b < - \frac{1}{2}$ Falsch

$- \frac{1}{2} < b < 2$ Wahr

$b > 2$ Falsch

$b < - 1$ Falsch

$- 1 < b < - \frac{11}{16}$ Wahr

$- \frac{11}{16} < b < - \frac{1}{2}$ Falsch

$- \frac{1}{2} < b < 2$ Wahr

$b > 2$ Falsch

Schritt 15

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 1 < b < - \frac{11}{16}$ oder $- \frac{1}{2} < b < 2$

Schritt 16

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- 1 < b < - \frac{11}{16} or - \frac{1}{2} < b < 2$

Intervallschreibweise:

$(- 1, - \frac{11}{16}) \cup (- \frac{1}{2}, 2)$

Schritt 17