Elementarmathematik Beispiele

$\frac{25}{4} - \frac{9}{b^{2}} = 1$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $b$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $\frac{25}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{9}{b^{2}} = 1 - \frac{25}{4}$

Schritt 1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{9}{b^{2}} = \frac{4}{4} - \frac{25}{4}$

Schritt 1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{9}{b^{2}} = \frac{4 - 25}{4}$

Schritt 1.4

Subtrahiere $25$ von $4$ .

$- \frac{9}{b^{2}} = \frac{- 21}{4}$

Schritt 1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9}{b^{2}} = - \frac{21}{4}$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$b^{2}, 4$

Schritt 2.2

Since $b^{2}, 4$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 4$ then find LCM for the variable part $b^{2}$ .

Schritt 2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.5

$4$ hat Faktoren von $2$ und $2$ .

$2 \cdot 2$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4$

Schritt 2.7

Die Teiler von $b^{2}$ sind $b \cdot b$ , was $b$ $2$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$b^{2} = b \cdot b$

$b$ tritt $2$ -mal auf.

Schritt 2.8

Das kgV von $b^{2}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$b \cdot b$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$b^{2}$

Schritt 2.10

Das kgV von $b^{2}, 4$ ist der numerische Teil $4$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$4 b^{2}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $- \frac{9}{b^{2}} = - \frac{21}{4}$ mit $4 b^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{9}{b^{2}} = - \frac{21}{4}$ mit $4 b^{2}$ .

$- \frac{9}{b^{2}} (4 b^{2}) = - \frac{21}{4} (4 b^{2})$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $b^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{9}{b^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- 9}{b^{2}} (4 b^{2}) = - \frac{21}{4} (4 b^{2})$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere $b^{2}$ aus $4 b^{2}$ heraus.

$\frac{- 9}{b^{2}} (b^{2} \cdot 4) = - \frac{21}{4} (4 b^{2})$

Schritt 3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 9}{b^{2}} (b^{2} \cdot 4) = - \frac{21}{4} (4 b^{2})$

Schritt 3.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- 9 \cdot 4 = - \frac{21}{4} (4 b^{2})$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $4$ .

$- 36 = - \frac{21}{4} (4 b^{2})$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.3.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{21}{4}$ in den Zähler.

$- 36 = \frac{- 21}{4} (4 b^{2})$

Schritt 3.3.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4 b^{2}$ heraus.

$- 36 = \frac{- 21}{4} (4 (b^{2}))$

Schritt 3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 36 = \frac{- 21}{4} (4 b^{2})$

Schritt 3.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- 36 = - 21 b^{2}$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $- 21 b^{2} = - 36$ um.

$- 21 b^{2} = - 36$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $- 21 b^{2} = - 36$ durch $- 21$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 21 b^{2} = - 36$ durch $- 21$ .

$\frac{- 21 b^{2}}{- 21} = \frac{- 36}{- 21}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 21$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 21 b^{2}}{- 21} = \frac{- 36}{- 21}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $b^{2}$ durch $1$ .

$b^{2} = \frac{- 36}{- 21}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 36$ und $- 21$ .

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Schritt 4.2.3.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 36$ heraus.

$b^{2} = \frac{- 3 (12)}{- 21}$

Schritt 4.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.1.2.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 21$ heraus.

$b^{2} = \frac{- 3 \cdot 12}{- 3 \cdot 7}$

Schritt 4.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$b^{2} = \frac{- 3 \cdot 12}{- 3 \cdot 7}$

Schritt 4.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$b^{2} = \frac{12}{7}$

Schritt 4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$b = \pm \sqrt{\frac{12}{7}}$

Schritt 4.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{12}{7}}$ .

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Schritt 4.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{12}{7}}$ als $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{7}}$ um.

$b = \pm \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{7}}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.2.1

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 4.4.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$b = \pm \frac{\sqrt{4 (3)}}{\sqrt{7}}$

Schritt 4.4.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$b = \pm \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{\sqrt{7}}$

Schritt 4.4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$b = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

Schritt 4.4.3

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ mit $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$b = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Schritt 4.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ mit $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$b = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Schritt 4.4.4.2

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$b = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Schritt 4.4.4.3

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$b = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Schritt 4.4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$b = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$b = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Schritt 4.4.4.6

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 4.4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$b = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$b = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$b = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$b = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$b = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{7}}{7^{1}}$

Schritt 4.4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$b = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{7}}{7}$

Schritt 4.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$b = \pm \frac{2 \sqrt{7 \cdot 3}}{7}$

Schritt 4.4.5.2

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$b = \pm \frac{2 \sqrt{21}}{7}$

Schritt 4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$b = \frac{2 \sqrt{21}}{7}$

Schritt 4.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$b = - \frac{2 \sqrt{21}}{7}$

Schritt 4.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$b = \frac{2 \sqrt{21}}{7}, - \frac{2 \sqrt{21}}{7}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$b = \frac{2 \sqrt{21}}{7}, - \frac{2 \sqrt{21}}{7}$

Dezimalform:

$b = 1.30930734 \dots, - 1.30930734 \dots$