Elementarmathematik Beispiele

$\log (8 - x) > 2 \log (x + 4)$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$\log (8 - x) = 2 \log (x + 4)$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.1

Vereinfache $2 \log (x + 4)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log (8 - x) = \log ({(x + 4)}^{2})$

Schritt 2.2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$8 - x = {(x + 4)}^{2}$

Schritt 2.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(x + 4)}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$8 - x = 0 + 0 + {(x + 4)}^{2}$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe ${(x + 4)}^{2}$ als $(x + 4) (x + 4)$ um.

$8 - x = (x + 4) (x + 4)$

Schritt 2.3.1.3

Multipliziere $(x + 4) (x + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 - x = x (x + 4) + 4 (x + 4)$

Schritt 2.3.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$8 - x = x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)$

Schritt 2.3.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$8 - x = x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4$

Schritt 2.3.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$8 - x = x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4$

Schritt 2.3.1.4.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$8 - x = x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4$

Schritt 2.3.1.4.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$8 - x = x^{2} + 4 x + 4 x + 16$

Schritt 2.3.1.4.2

Addiere $4 x$ und $4 x$ .

$8 - x = x^{2} + 8 x + 16$

Schritt 2.3.2

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} + 8 x + 16 = 8 - x$

Schritt 2.3.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.3.1

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 8 x + 16 + x = 8$

Schritt 2.3.3.2

Addiere $8 x$ und $x$ .

$x^{2} + 9 x + 16 = 8$

Schritt 2.3.4

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 9 x + 16 - 8 = 0$

Schritt 2.3.5

Subtrahiere $8$ von $16$ .

$x^{2} + 9 x + 8 = 0$

Schritt 2.3.6

Faktorisiere $x^{2} + 9 x + 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.3.6.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $8$ und deren Summe $9$ ist.

$1, 8$

Schritt 2.3.6.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + 1) (x + 8) = 0$

Schritt 2.3.7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 8 = 0$

Schritt 2.3.8

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.8.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.3.8.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.3.9

Setze $x + 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.9.1

Setze $x + 8$ gleich $0$ .

$x + 8 = 0$

Schritt 2.3.9.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 8$

Schritt 2.3.10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (x + 8) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, - 8$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $\log (\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}})$ .

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Schritt 3.1

Setze das Argument in $\log (\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}})$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}} > 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$8 - x = 0$

${(x + 4)}^{2} = 0$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 8$

Schritt 3.2.3

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 8$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 8$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 3.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 3.2.3.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 3.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.3.1

Dividiere $- 8$ durch $- 1$ .

$x = 8$

Schritt 3.2.4

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 3.2.5

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 3.2.6

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 8$

$x = - 4$

Schritt 3.2.7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 8, - 4$

Schritt 3.2.8

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}}$ .

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Schritt 3.2.8.1

Setze den Nenner in $\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x + 4)}^{2} = 0$

Schritt 3.2.8.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.8.2.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 3.2.8.2.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 3.2.8.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Schritt 3.2.9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 4$

$- 4 < x < 8$

$x > 8$

Schritt 3.2.10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 3.2.10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 3.2.10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{8 - (- 6)}{{((- 6) + 4)}^{2}} > 0$

Schritt 3.2.10.1.3

Die linke Seite $3.5$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 3.2.10.2

Teste einen Wert im Intervall $- 4 < x < 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 4 < x < 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 3.2.10.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{8 - (0)}{{((0) + 4)}^{2}} > 0$

Schritt 3.2.10.2.3

Die linke Seite $0.5$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 3.2.10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 10$

Schritt 3.2.10.3.2

Ersetze $x$ durch $10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{8 - (10)}{{((10) + 4)}^{2}} > 0$

Schritt 3.2.10.3.3

Die linke Seite $- 0.01020408$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 3.2.10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 4$ Wahr

$- 4 < x < 8$ Wahr

$x > 8$ Falsch

$x < - 4$ Wahr

$- 4 < x < 8$ Wahr

$x > 8$ Falsch

Schritt 3.2.11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 4$ oder $- 4 < x < 8$

Schritt 3.3

Setze den Nenner in $\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x + 4)}^{2} = 0$

Schritt 3.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 3.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 8)$

Schritt 4

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 4$

$- 4 < x < - 1$

$- 1 < x < 8$

$x > 8$

Schritt 5

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 5.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 10$

Schritt 5.1.2

Ersetze $x$ durch $- 10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log (8 - (- 10)) > 2 \log ((- 10) + 4)$

Schritt 5.1.3

Bestimme, ob die Ungleichung erfüllt ist.

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Schritt 5.1.3.1

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da sie nicht definiert ist.

$Undefiniert$

Schritt 5.1.3.2

The right side has no solution, which means that the given statement is false.

False

Schritt 5.2

Teste einen Wert im Intervall $- 8 < x < - 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 8 < x < - 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 5.2.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log (8 - (- 6)) > 2 \log ((- 6) + 4)$

Schritt 5.2.3

Bestimme, ob die Ungleichung erfüllt ist.

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Schritt 5.2.3.1

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da sie nicht definiert ist.

$Undefiniert$

Schritt 5.2.3.2

The right side has no solution, which means that the given statement is false.

False

Schritt 5.3

Teste einen Wert im Intervall $- 4 < x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 4 < x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 5.3.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log (8 - (- 2)) > 2 \log ((- 2) + 4)$

Schritt 5.3.3

Die linke Seite $1$ ist größer als die rechte Seite $0.60205999$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 5.4

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 5.4.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log (8 - (0)) > 2 \log ((0) + 4)$

Schritt 5.4.3

Die linke Seite $0.90308998$ ist nicht größer als die rechte Seite $1.20411998$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 5.5

Teste einen Wert im Intervall $x > 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 10$

Schritt 5.5.2

Ersetze $x$ durch $10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log (8 - (10)) > 2 \log ((10) + 4)$

Schritt 5.5.3

Bestimme, ob die Ungleichung erfüllt ist.

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Schritt 5.5.3.1

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da sie nicht definiert ist.

$Undefiniert$

Schritt 5.5.3.2

Die linke Seite hat keine Lösung, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 5.6

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 8$ Falsch

$- 8 < x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < 8$ Falsch

$x > 8$ Falsch

$x < - 8$ Falsch

$- 8 < x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < 8$ Falsch

$x > 8$ Falsch

Schritt 6

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 4 < x < - 1$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- 4 < x < - 1$

Intervallschreibweise:

$(- 4, - 1)$

Schritt 8