Elementarmathematik Beispiele

$9 x^{2} - 12 x > - 4$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$9 x^{2} - 12 x = - 4$

Schritt 2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 x^{2} - 12 x + 4 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.1

Schreibe $9 x^{2}$ als ${(3 x)}^{2}$ um.

${(3 x)}^{2} - 12 x + 4 = 0$

Schritt 3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

${(3 x)}^{2} - 12 x + 2^{2} = 0$

Schritt 3.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$12 x = 2 \cdot (3 x) \cdot 2$

Schritt 3.4

Schreibe das Polynom neu.

${(3 x)}^{2} - 2 \cdot (3 x) \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = 3 x$ und $b = 2$ .

${(3 x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 4

Setze $3 x - 2$ gleich $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 2$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Schritt 6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < \frac{2}{3}$

$x > \frac{2}{3}$

Schritt 7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 7.1

Teste einen Wert im Intervall $x < \frac{2}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < \frac{2}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 7.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$9 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 > - 4$

Schritt 7.1.3

Die linke Seite $0$ ist größer als die rechte Seite $- 4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 7.2

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{2}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{2}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 7.2.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$9 {(3)}^{2} - 12 \cdot 3 > - 4$

Schritt 7.2.3

Die linke Seite $45$ ist größer als die rechte Seite $- 4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 7.3

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < \frac{2}{3}$ Wahr

$x > \frac{2}{3}$ Wahr

$x < \frac{2}{3}$ Wahr

$x > \frac{2}{3}$ Wahr

Schritt 8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < \frac{2}{3}$ oder $x > \frac{2}{3}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < \frac{2}{3} or x > \frac{2}{3}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}, \infty)$

Schritt 10