Elementarmathematik Beispiele

$3 \log_{x} (3) + 4 \log_{x} (2) - \log_{x} (54) = 3$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$3 \log_{x} (3) + 4 \log_{x} (2) - \log_{x} (54) = 3$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache $3 \log_{x} (3) + 4 \log_{x} (2) - \log_{x} (54)$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Vereinfache $3 \log_{x} (3)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{x} (3^{3}) + 4 \log_{x} (2) - \log_{x} (54) = 3$

Schritt 2.1.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\log_{x} (27) + 4 \log_{x} (2) - \log_{x} (54) = 3$

Schritt 2.1.1.3

Vereinfache $4 \log_{x} (2)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{x} (27) + \log_{x} (2^{4}) - \log_{x} (54) = 3$

Schritt 2.1.1.4

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\log_{x} (27) + \log_{x} (16) - \log_{x} (54) = 3$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{x} (27 \cdot 16) - \log_{x} (54) = 3$

Schritt 2.1.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{x} (\frac{27 \cdot 16}{54}) = 3$

Schritt 2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $54$ .

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Schritt 2.1.4.1

Faktorisiere $27$ aus $27 \cdot 16$ heraus.

$\log_{x} (\frac{27 (16)}{54}) = 3$

Schritt 2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.4.2.1

Faktorisiere $27$ aus $54$ heraus.

$\log_{x} (\frac{27 \cdot 16}{27 \cdot 2}) = 3$

Schritt 2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{x} (\frac{27 \cdot 16}{27 \cdot 2}) = 3$

Schritt 2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{x} (\frac{16}{2}) = 3$

Schritt 2.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 2.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\log_{x} (\frac{2 \cdot 8}{2}) = 3$

Schritt 2.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\log_{x} (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)}) = 3$

Schritt 2.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{x} (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}) = 3$

Schritt 2.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{x} (\frac{8}{1}) = 3$

Schritt 2.1.5.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$\log_{x} (8) = 3$

Schritt 3

Schreibe $\log_{x} (8) = 3$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$x^{3} = 8$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - 8 = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$x^{3} - 2^{3} = 0$

Schritt 4.2.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.2.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

Schritt 4.2.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Schritt 4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Schritt 4.4

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 4.4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 4.5

Setze $x^{2} + 2 x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $x^{2} + 2 x + 4$ gleich $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Schritt 4.5.2

Löse $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.5.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.2.3.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 4.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2.3.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2.3.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2.3.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 4.5.2.3.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2.3.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2.3.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.5.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 4.5.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$